Question

（2012•道里區(qū)三模）已知函數(shù)g（x）=x²-（2a+1）x+alnx
（Ⅰ） 當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)g（x）的極值；
（Ⅱ） 求函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值；
（Ⅲ） 在（Ⅰ）的條件下，設(shè)f（x）=g（x）+4x-x²-2lnx，證明：

n

k=2

1

k-f(k)

＞

3n2-n-2

n(n+1)

(n≥2)．
參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.6931．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=1代入g（x）然后對g（x）進(jìn)行求導(dǎo)，令g′（x）=0，可得極值點(diǎn)，從而求出函數(shù)g（x）的極值；
（Ⅱ）已知函數(shù)g（x）=x²-（2a+1）x+alnx，對其進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，對a值進(jìn)行討論，從而求解；
（ III）根據(jù)題意，f（x）=g（x）+4x-x²-2lnx=x-lnx（x＞0），利用不等式lnx＜

1

4

（x²-1），對要證明的不等式左邊進(jìn)行放縮，來進(jìn)行證明；

解答：解：（Ⅰ）∵a=1，可得g（x）=x²-3x+lnx，（x＞0）
∴g′（x）=2x-3+

1

x

=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

，
令g′（x）=0，x₁=

1

2

，x₂=1，
  g′（x）＞0，即x＞1或x＜

1

2

，g（x）為增函數(shù)，
g′（x）＜0，即

1

2

＜x＜1，g（x）為減函數(shù)，
g（x）在x=

1

2

出取極大值，g（x）_極大值=g（

1

2

）=-

5

4

-ln2，
g（x）在x=1出取極小值，g（x）_極小值=g（1）=-2，
（Ⅱ）g′（x）=2x-（2a+1）+

a

x

=

2x2-(2a+1)x+a

x

=

(2x-1)(x-a)

x

當(dāng)a≤1時(shí)，x∈[1，e]，g′（x）≥0，g（x）單調(diào)遞增，g（x）_min=g（1）=2a，
當(dāng)1＜a＜e時(shí)，x∈[1，a]時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，x∈[a，e]時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
∴g（x）_min=g（a）=-a²-a+alna，
當(dāng)a≥e時(shí)，x∈[1，e]，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
g（x）_min=g（e）=e²-（2a+1）e+a，
∴g（x）的最小值為：g（a）=

-2a                              a≤1 -2a2-a+alna     1＜a＜e e2-(2a+1)e+a        a≥e

（ III）依題意可得，f（x）=g（x）+4x-x²-lnx=x-lnx（x＞0）
∴k-f（k）=lnk，令h（x）=lnx-

1

4

（x²-1），∵x∈[2，+∞）時(shí)，h′（0）=

2-x2

2x2

＜0，
∴h（x）≤h（2）=ln2-

3

4

＜0，即lnx＜

1

4

（x²-1），∴

1

lnx

＞

4

(x-1)(x+1)

=2（

1

x-1

-

1

x+1

）
∴

n

k=2

1

k-f(k)

=

n

k=2

1

lnk

=

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

lnk

＞2（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n-2

-

1

n

+

1

n-1

-

1

n+1

）=2（1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

）=

3n2-n-2

n(n+1)

，（n≥2）；

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值問題，考查不等式的證明，用好導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵，本題考查的知識點(diǎn)比較全面，是一道難題，計(jì)算量也很大，同學(xué)們要認(rèn)真做好筆記；