Question

已知f（x）是以2為周期的偶函數(shù)，當x∈[0，1]，f（x）=x，那么在區(qū)間[-1，3]內(nèi)，關(guān)于x的方程4f（x）=x+m（其中m為實常數(shù)）有四個不同的實根，則m的取值范圍是________．

Answer 1

（0，1]
分析：利用函數(shù)的奇偶性和周期性可畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．由已知需要先畫出函數(shù)在[0，1]上的圖象，再利用奇偶性畫出在[-1，0]上的圖象，利用周期性可畫出在區(qū)間[-1，3]內(nèi)的函數(shù)圖象，即可解答本題．
解答：解：因為關(guān)于x的方程4f（x）=x+m有4個不同的根，
就是函數(shù)y=f（x）的圖象與y=（x+m）的圖象有4個不同的交點，
f（x）是以2為周期的偶函數(shù)，當x∈[0，1]時，f（x）=x，
所以可以得到函數(shù)f（x）的圖象
又因為y=（x+m）是一組斜率為的平行直線系，
在同一坐標系內(nèi)畫出它們的圖象如圖，
由圖得y=（x+m）在過點A（3，1）的直線y=（x+1）和y=x中間時符合要求，
所以m的取值范圍是0＜k≤1．
故答案為：（0，1]．
點評：本題考查根的個數(shù)的應(yīng)用和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致分兩類：一是以形解數(shù)，即借助數(shù)的精確性，深刻性來講述形的某些屬性；二是以形輔數(shù)，即借助與形的直觀性，形象性來揭示數(shù)之間的某種關(guān)系，用形作為探究解題途徑，獲得問題結(jié)果的重要工具．