Question

（2012•葫蘆島模擬）在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，PA=AB=BC=

1

2

CD=a．
（1）求證：面PAD⊥面PAC；
（2）求二面角D-PB-C的余弦值；
（3）求點D到平面PBC的距離．

Answer 1

分析：（1）證明面PAD⊥面PAC，利用面面垂直的判定，證明AC⊥平面PAD即可；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點與向量，求出平面PBC、平面PBD的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論；
（3）設(shè)D到平面PBC的距離為d，則d=|

BD

|•|cos＜

BD

，

n1

＞|=

2

a，由此可得結(jié)論．

解答：（1）證明：設(shè)PA=AB=BC=

1

2

CD=a，連接AC，
在RT△ABC中，AC=

2

a，
在直角梯形ABCD中，AD=

2

a，
所以在△DAC中有：AD²+AC²=CD²，∴AC⊥AD
又∵PA⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，
∴PA⊥AC
∵PA∩AD=A
∴AC⊥平面PAD
∵AC?平面PAC
∴面PAD⊥面PAC                 …（4分）
（2）解：以B為原點，BA，BC所在直線分別為x軸，y軸建立如圖所示坐標(biāo)系，則：A（a，0，0），B（0，0，0），C（0，a，0），D（2a，a，0），P（a，0，a），

BP

=（a，0，a），

BC

=（0，a，0），

BD

=（2a，a，0）
設(shè)平面PBC的法向量為

n1

=（x′，y′，z′），平面PBD的法向量為

n2

=（x，y，z），
由

n1

⊥

BP

，

n1

⊥

BC

，

n2

⊥

BP

，

n2

⊥

BD

得：ax′+az′=0，y′=0，ax+az=0，2ax+ay=0
∴z′=-x′，y′=0，y=-2x，z=-x
∴取

n1

=（1，0，-1），

n2

=（1，-2，-1）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

1×1+0×(-2)+(-1)×(-1)

2 × 6

=

3

3

設(shè)二面角D-PB-C的平面角θ，由圖形易知θ為銳角，∴cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=

3

3

…（8分）
（以B為原點，AD，AC所在直線為x軸y軸建立平面直角坐標(biāo)系參照給分）
（3）解：由題意cos＜

BD

，

n1

＞=

2a×1+a×0+0×(-1)

5 × 2 a

=

10

5

，|

BD

|=

5

a
設(shè)D到平面PBC的距離為d，則d=|

BD

|•|cos＜

BD

，

n1

＞|=

2

a…（12分）
（利用體積法求得正確結(jié)果參照賦分）

點評：本題考查面面垂直，考查面面角，考查點到面的距離，解題的關(guān)鍵是掌握面面垂直的判定，正確運用向量知識解決立體幾何問題．