Question

復(fù)數(shù)z滿足條件|z|=1，求|2z²-z+1|的最大值和最小值．

Answer 1

分析：設(shè) z=cosθ+isinθ，利用復(fù)數(shù)的乘方、模的定義、及三角公式化簡(jiǎn)|2z²-z+1|=

8(cosθ- 3 8 )2+ 7 8

，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值．

解答：解：∵|z|=1，∴z=cosθ+isinθ，
∴|2z²-z+1|=|2（cosθ+isinθ）²-（cosθ+isinθ）+1|=|（2cos2θ-cosθ+1）+（2sin2θ-sinθ）i|
=

(2cos2θ-cos+1)2+(2sin2θ-sinθ)2

=

8cos2θ-6cosθ+2

=

8(cosθ- 3 8 )2+ 7 8

．
∴當(dāng)cosθ=

3

8

時(shí)，|2z²-z+1|有最小值為

14

4

，
當(dāng)cosθ=-1時(shí)，|2z²-z+1|有最大值為 4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的乘方、求復(fù)數(shù)的模的方法，三角公式及二次函數(shù)性質(zhì)得應(yīng)用．