Question

設(shè)A、B是橢圓3x²+y²=λ上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn)，
（Ⅰ）確定λ的取值范圍，并求直線AB的方程；
（Ⅱ）試判斷是否存在這樣的λ，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上？并說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，可設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），
代入，整理得， ①
設(shè)是方程①的兩個(gè)不同的根，
∴， ②
且，
由N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，得，
∴，解得k=-1，
代入②得，λ＞12，
即λ的取值范圍是（12，+∞），
于是，直線AB的方程為y-3=-（x-1），即x+y-4=0。
（Ⅱ）∵CD垂直平分AB，
∴直線CD的方程為y-3=x-1，即x-y+2=0，
代入橢圓方程，整理得，
又設(shè)，CD的中點(diǎn)為是方程③的兩根，
∴，即，
于是由弦長(zhǎng)公式可得， ④
將直線AB的方程x+y-4=0，
代入橢圓方程得， ⑤
同理可得， ⑥
∵當(dāng)λ＞12時(shí)，，
∴|AB|＜|CD|，
假設(shè)存在λ＞12，使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓，則CD必為圓的直徑，點(diǎn)M為圓心，
點(diǎn)M到直線AB的距離為， ⑦
于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得，
，
故當(dāng)λ＞12時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)均在以M為圓心，為半徑的圓上。