Question

已知函數(shù)f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜0在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）比較的大�。╪∈N^*且n≥2，e是自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為（0，+∞）
∵函數(shù)f（x）=ax-1-lnx，∴
①當(dāng)a≤0時，f′（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
②當(dāng)a＞0時，由f′（x）＜0得，由f′（x）＞0得x＞，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，）上是減函數(shù)；函數(shù)f（x）在上是增函數(shù)
（Ⅱ）不等式f（x）＜0在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立
令，只需g（x）在區(qū)間上的最小值g（x）_min＞a即可
求導(dǎo)函數(shù)
當(dāng)時，g′（x）＞0，g（x）在上單調(diào)遞增；
當(dāng)1＜x＜2時，g′（x），＜0，g（x）在（1，2）上單調(diào)遞減
∴g（x）在區(qū)間上的最小值是與g（2）中的較小者
∵．
∴
∴
∴g（x）在區(qū)間上的最小值是
∴a＜2-2ln2
∴實數(shù)a的取值范圍為（-∞，2-2ln2）；
（Ⅲ），證明如下：
據(jù)（Ⅰ）知，當(dāng)a=1時，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增
∴f（x）在x=1處取得極小值，且為最小值
∴f（x）=x-1-lnx≥f（1）=0，∴l(xiāng)nx≤x-1
故當(dāng)n∈N^*且n≥2時，=
∵
∴＜
∴
∴
分析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為（0，+∞），求出導(dǎo)函數(shù)，再分類討論：a≤0、a＞0，即可確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）不等式f（x）＜0在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，令，只需g（x）在區(qū)間上的最小值g（x）_min＞a即可．
（Ⅲ）據(jù)（Ⅰ）知，當(dāng)a=1時，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，從而f（x）在x=1處取得極小值，且為最小值，所以lnx≤x-1，進一步利用放縮法即可證得結(jié)論．
點評：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，考查不等式的證明，恒成立問題利用了分離參數(shù)法，難度較大．