Question

如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，點E在CC₁上且C₁E=3EC
（1）證明：A₁C⊥平面BED；
（2）求二面角A₁-DE-B的余弦值．

Answer 1

解：（1）如圖，以DA，DC，DD₁為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則A₁（2，0，4），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，2，1）
，，，
∵，
，
∴，，
∴A₁C⊥平面BED
（2）∵，，
設(shè)平面A₁DE的法向量為，
由及，
得-2x+2y-3z=0，-2x-4z=0，
取
同理得平面BDE的法向量為，
∴cos＜＞===-，
所以二面角A₁-DE-B的余弦值為．
分析：（1）以DA，DC，DD₁為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則，，，由向量法能證明A₁C⊥平面BED．
（2）由，，得到平面A₁DE的法向量，同理得平面BDE的法向量為，由向量法能求出二面角A₁-DE-B的余弦值．
點評：本題考查直線與平面垂直的證明和求二面角的余弦值，解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的靈活運用．