Question

如圖，過(guò)曲線：上一點(diǎn)作曲線的切線交軸于點(diǎn)，又過(guò)作 軸的垂線交曲線于點(diǎn)，然后再過(guò)作曲線的切線交軸于點(diǎn)，又過(guò)作軸的垂線交曲線于點(diǎn)，，以此類推，過(guò)點(diǎn)的切線 與軸相交于點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交曲線于點(diǎn)（N）．

 (1) 求、及數(shù)列的通項(xiàng)公式；

 (2) 設(shè)曲線與切線及直線所圍成的圖形面積為，求的表達(dá)式；

 (3) 在滿足(2)的條件下, 若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：N.

 

Answer 1

【答案】

 

(1) 解: 由，設(shè)直線的斜率為，則.

∴直線的方程為.令，得，           ……2分

∴， ∴.

∴.

∴直線的方程為.令，得.         ……4分

一般地，直線的方程為，

由于點(diǎn)在直線上，

∴.

∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.

∴.                                              ……6分

（2）解：

            .       ……8分

（3）證明：.…10分

      ∴，.

 要證明，只要證明，即只要證明。 11分

      證法1：（數(shù)學(xué)歸納法）

①  當(dāng)時(shí)，顯然成立；

②  假設(shè)時(shí)，成立，

則當(dāng)時(shí)，，

而.

∴.

∴.

這說(shuō)明，時(shí)，不等式也成立.

由①②知不等式對(duì)一切N都成立.        ……14分

證法2:

           .

   ∴不等式對(duì)一切N都成立.        ……14分

證法3:令,

則,

當(dāng)時(shí), ,

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.

∴當(dāng)時(shí), .

∵N,

∴, 即.

∴.

∴不等式對(duì)一切N都成立.  

【解析】略