【題目】已知函數(shù) .
(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)求證:若函數(shù)在處取得極值,則對(duì)恒成立.
【答案】(1);(2)當(dāng)時(shí), 單調(diào)減區(qū)間,無增區(qū)間;當(dāng)時(shí), 單調(diào)增區(qū)間,單調(diào)減區(qū)間;(3)證明見解析.
【解析】試題分析:(1)求出,,求出的值可得切點(diǎn)坐標(biāo),求出的值,可得切線斜率,利用點(diǎn)斜式可得曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)分四種情況討論的范圍,在定義域內(nèi),分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間, 求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;(3)由,計(jì)算得出,取經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件, ,則,令利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可得結(jié)果.
試題解析:(1)因?yàn)?/span>,當(dāng)時(shí), ,
當(dāng), ,
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程.
(2)因?yàn)樵?/span>, ,
當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí), .
當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞增;
綜上所述,當(dāng)時(shí), 單調(diào)減區(qū)間,無增區(qū)間.
當(dāng)時(shí), 單調(diào)增區(qū)間,單調(diào)減區(qū)間.
(3)因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值,所以
計(jì)算得出,取經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件.
由已知,則,
令
易得在區(qū)間上遞減,在區(qū)間上遞增,
所以即,
所以若函數(shù)在處取得極值,對(duì)恒成立.
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及不等式恒成立問題,屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是:(1)求出在處的導(dǎo)數(shù),即在點(diǎn) 出的切線斜率(當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時(shí),在 處導(dǎo)數(shù)不存在,切線方程為);(2)由點(diǎn)斜式求得切線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn),是以為底邊的等腰三角形,點(diǎn)在直線:上.
(1)求邊上的高所在直線的方程;
(2)求的面積.
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【題目】三棱錐及其側(cè)視圖、俯視圖如圖所示.設(shè), 分別為線段, 的中點(diǎn), 為線段上的點(diǎn),且.
(1)證明: 為線段的中點(diǎn);
(2)求二面角的余弦值.
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【題目】已知圓.
(1)求圓心C的坐標(biāo)及半徑r的大;
(2)已知不過原點(diǎn)的直線l與圓C相切,且在x軸、y軸上的截距相等,求直線l的方程;
(3)從圓外一點(diǎn)向圓引一條切線,切點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且,求點(diǎn)P的軌跡方程.
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【題目】為了測(cè)量某塔的高度,某人在一條水平公路兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量.在點(diǎn)測(cè)得塔底在南偏西,塔頂仰角為,此人沿著南偏東方向前進(jìn)10米到點(diǎn),測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?/span>,則塔的高度為( )
A. 5米B. 10米C. 15米D. 20米
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【題目】扎比瓦卡是2018年俄羅斯世界杯足球賽吉祥物,該吉祥物以西伯利亞平原狼為藍(lán)本.扎比瓦卡,俄語意為“進(jìn)球者”.某廠生產(chǎn)“扎比瓦卡”的固定成本為15000元,每生產(chǎn)一件“扎比瓦卡”需要增加投入20元,根據(jù)初步測(cè)算,每個(gè)銷售價(jià)格滿足函數(shù),其中x是“扎比瓦卡”的月產(chǎn)量(每月全部售完).
(1)將利潤(rùn)表示為月產(chǎn)量的函數(shù);
(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí),該廠所獲利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?(總收益=總成本+利潤(rùn)).
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【題目】已知函數(shù)f(x)=4cosxsin(x)+a的最大值為2.
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)在給定的直角坐標(biāo)系上作出函數(shù)f(x)在[0,π]上的圖象:
(3)求函數(shù)f(x)在[,]上的零點(diǎn),
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【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,離心率為,過的直線與橢圓交于兩點(diǎn),且的周長(zhǎng)為8.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線過點(diǎn),且與橢圓交于兩點(diǎn),求面積的最大值.
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【題目】小明家的晚報(bào)在下午任何一個(gè)時(shí)間隨機(jī)地被送到,他們一家人在下午任何一個(gè)時(shí)間隨機(jī)地開始晚餐.為了計(jì)算晚報(bào)在晚餐開始之前被送到的概率,某小組借助隨機(jī)數(shù)表的模擬方法來計(jì)算概率,他們的具體做法是將每個(gè)1分鐘的時(shí)間段看作個(gè)體進(jìn)行編號(hào),編號(hào)為01,編號(hào)為02,依此類推,編號(hào)為90.在隨機(jī)數(shù)表中每次選取一個(gè)四位數(shù),前兩位表示晚報(bào)時(shí)間,后兩位表示晚餐時(shí)間,如果讀取的四位數(shù)表示的晚報(bào)晚餐時(shí)間有一個(gè)不符合實(shí)際意義,視為這次讀取的無效數(shù)據(jù)(例如下表中的第一個(gè)四位數(shù)6548中的65不符合晚報(bào)時(shí)間).按照從左向右,讀完第一行,再從左向右讀第二行的順序,讀完下表,用頻率估計(jì)晚報(bào)在晚餐開始之前被送到的概率為( )
6548 1176 7417 4685 0950 5804 7769 7473 0395 7186 |
8012 4356 3517 7270 8015 4531 8223 7421 1157 8263 |
A.B.C.D.
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