Question

如圖為某校語言類專業(yè)N名畢業(yè)生的綜合測評成績（百分制）分布直方圖，已知80～90分?jǐn)?shù)段的學(xué)員數(shù)為21人
（Ⅰ）求該專業(yè)畢業(yè)總?cè)藬?shù)N和90～95分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)n；
（Ⅱ）現(xiàn)欲將90～95分?jǐn)?shù)段內(nèi)的n名畢業(yè)生分配往甲、乙、丙三所學(xué)校，若向?qū)W校甲分配兩名畢業(yè)生，且其中至少有一名男生的概率為

3

5

，求n名畢業(yè)生中男女各幾人（男女人數(shù)均至少兩人）？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的結(jié)論下，設(shè)隨機(jī)變量ξ表示n名畢業(yè)生中分配往乙學(xué)校的三名學(xué)生中男生的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,頻率分布直方圖,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）先求出其不意80～90分?jǐn)?shù)段的畢業(yè)生的頻率，再求出畢業(yè)生的總?cè)藬?shù)，由此利用90～95分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)頻率，從而能求出90～95分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)．
（Ⅱ）90：95分?jǐn)?shù)段內(nèi)共6名畢業(yè)生，設(shè)其中男生z名，女生為6-x名設(shè)分配往甲校的兩名畢業(yè)生中至少有一名男畢業(yè)生為事件A，由P（A）=1-

C 2 6-x

C 2 6

=

3

5

，能求出6名畢業(yè)生中有男生2人，女生4人．
（Ⅲ）ξ表示n名畢業(yè)生中分配往甲學(xué)校的兩名學(xué)生中男生的人數(shù)，ξ的取值可以為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和隨機(jī)變量ξ數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）80～90分?jǐn)?shù)段的畢業(yè)生的頻率為：
p₁=（0.04+0.03）×5=0.35，
此分?jǐn)?shù)段的學(xué)員總數(shù)為21人，
∴畢業(yè)生的總?cè)藬?shù)N為N=

21

0.35

=60，
90～95分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)頻率為：
p₂=1-（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5=0.1，
∴90～95分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)n=60×0.1=6．
（Ⅱ）90：95分?jǐn)?shù)段內(nèi)共6名畢業(yè)生，設(shè)其中男生z名，女生為6-x名
設(shè)分配往甲校的兩名畢業(yè)生中至少有一名男畢業(yè)生為事件A，
則P（A）=1-

C 2 6-x

C 2 6

=

3

5

，
解得x=2或x=9（舍去），
即6名畢業(yè)生中有男生2人，女生4人．…（8分）
（Ⅲ）ξ表示n名畢業(yè)生中分配往甲學(xué)校的兩名學(xué)生中男生的人數(shù)，
所以ξ的取值可以為0，1，2，
當(dāng)ξ=0時，P（ξ=0）=

C 3 4

C 3 6

=

1

5

，
當(dāng)ξ=1時，P（ξ=1）=

C 1 2 C 2 4

C 3 6

=

3

5

，
當(dāng)ξ=2時，P（ξ=2）=

C 2 2 C 1 4

C 3 6

=

1

5

，
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	1 5	3 5	1 5

所以隨機(jī)變量ξ數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×

1

5

+1×

3

5

+2×

1

5

=1．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查頻率直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時要認(rèn)真審題，是中檔題．