如圖,已知空間四邊形ABCD中,O是對角線BD的中點(diǎn),數(shù)學(xué)公式
(1)求證:CO⊥AO;
(2)求證:AO⊥平面BCD;
(3)若G為△ADC的重心,試在線段DO上確定一點(diǎn)F,使得GF∥平面AOC.

(1)證明:∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD.
∵BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD.
在△AOC中,由已知可得
而AC=2,∴AO2+CO2=AC2,∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.…(5分)
(2)證明:∵AO⊥OC,AO⊥BD,BD∩OC=O,∴AO⊥平面BCD…(8分)
(3)解:連接DG并延長交AC于H,則,在DO上取點(diǎn)F,使,連接FG、OH
,∴FG∥OH
∵OH?平面AOC,F(xiàn)G?平面AOC
∴GF∥平面AOC…(14分)
分析:(1)在△AOC中,可得,利用勾股定理,可得AO⊥OC;
(2)根據(jù)AO⊥OC,AO⊥BD,,利用線面垂直的判定,可得AO⊥平面BCD;
(3)連接DG并延長交AC于H,則,在DO上取點(diǎn)F,使,連接FG、OH,則可得FG∥OH,利用線面平行的判定,可得GF∥平面AOC.
點(diǎn)評:本題考查空間線面位置關(guān)系,考查線面垂直,考查線面平行,掌握線面垂直、平行的判定是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知空間四邊形ABCD中,BC=AC,AD=BD,E是AB的中點(diǎn).
求證:
(1)AB⊥平面CDE;
(2)平面CDE⊥平面ABC;
(3)若G為△ADC的重心,試在線段AE上確定一點(diǎn)F,使得GF∥平面CDE.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知空間四邊形ABCD中,
AB
=
a
-2
c
,
CD
=5
a
+6
b
-8
c
,對角線AC,BD的中點(diǎn)分別為E,F(xiàn),則
EF
=
 
(用向量
a
,
b
,
c
表示).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知空間四邊形ABCD的對角線AC=10,BD=6,M、N分別是AB、CD的中點(diǎn),MN=7,求異面直線AC與BD所成的角.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知空間四邊形ABCD中,AB=CD=3,E、F分別是BC、AD上的點(diǎn),并且BE:EC=AF:FD=1:2,EF=
3
,求AB和CD所成角的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知空間四邊形ABCD中,O是對角線BD的中點(diǎn),CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=
2

(1)求證:CO⊥AO;
(2)求證:AO⊥平面BCD;
(3)若G為△ADC的重心,試在線段DO上確定一點(diǎn)F,使得GF∥平面AOC.

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