Question

（本小題滿分12分＞
設(shè)平面直角坐標中，O為原點，N為動點，||=6，=•．過點M作MM₁丄y軸于M₁，過N作NN₁⊥x軸于點N₁，=+，記點T的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程：
（H）已知直線L與雙曲線C：5x²-y²=36的右支相交于P、Q兩點（其中點P在第-象限）．線段OP交軌跡C于A，若=3，S_△PAQ=-26tan∠PAQ求直線L的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)T（x，y），點N（x₁，y₁），則N₁（x₁，0），
又，
∴，，，
于是，
即（x，y）=，
∴，代入，得5x²+y²=36．
∴曲線C的方程是5x²+y²=36．
（Ⅱ）設(shè)A（x，y），由=3及P在第一象限知P（3m，3n），m＞0，n＞0，
∵A∈C₁，P∈C₂，
∴5m²+n²=36，5m²-n²=4，
解得m=2，n=4，即A（2，4），P（6，12），
設(shè)Q（x，y），則5x²-y²=36①，
由S=-26tan∠PAQ，得，
∴，
即（4，8）•（x-2，y-4）=-52x+2y+3=0②
聯(lián)立①②，解得，或，
∵Q在雙曲線的右支，∴Q（3，-3）．
由P（6，12），Q（3，-3）得l的方程為，
即5x-y-18=0．
分析：（Ⅰ）設(shè)T（x，y），點N（x₁，y₁），則N₁（x₁，0），又，，，，于是，由此能求出曲線C的方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x，y），由=3及P在第一象限知P（3m，3n），m＞0，n＞0，由A∈C₁，P∈C₂，知5m²+n²=36，5m²-n²=4，解得A（2，4），P（6，12），設(shè)Q（x，y），則5x²-y²=36．由S=-26tan∠PAQ，得，所以（4，8）•（x-2，y-4）=-52x+2y+3=0．聯(lián)立方程組，解得Q（3，-3）．由P（6，12），Q（3，-3）得l的方程．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．