Question

已知點(diǎn)M（-2，0），N（2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足條件||PM|-|PN||=2

2

，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W．
（1）求W的方程；
（2）過(guò)N（2，0）作直線l交曲線W于A，B兩點(diǎn)，使得|AB|=2

2

，求直線l的方程．
（3）若從動(dòng)點(diǎn)P向圓C：x²+（y-4）²=1作兩條切線，切點(diǎn)為A、B，令|PC|=d，試用d來(lái)表示

PA

•

PB

，若

PA

•

PB

=

36

5

，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的動(dòng)點(diǎn)P所滿足的條件，看出點(diǎn)P是到兩個(gè)定點(diǎn)距離之差等于定值，得到圖形是雙曲線，根據(jù)雙曲線的定義，寫出方程．
（2）本題是一個(gè)弦長(zhǎng)問(wèn)題，已知直線過(guò)定點(diǎn)，要設(shè)直線的方程，首先注意直線的斜率是否存在，不存在的情況要單獨(dú)說(shuō)明，存在時(shí)設(shè)出斜率，寫出方程，聯(lián)立方程，根據(jù)根和系數(shù)的關(guān)系，寫出弦長(zhǎng)的表達(dá)式，得到未知數(shù)．
（3）首先寫出兩個(gè)向量的數(shù)量積的表示式，用d來(lái)表示，根據(jù)數(shù)量積的值，得到關(guān)于d的方程，解出結(jié)果，針對(duì)于所求的兩種情況，求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由||PM|-|PN||=2

2

，知點(diǎn)P的軌跡是以M（-2，0），N（2，0）為焦點(diǎn)，
實(shí)軸長(zhǎng)為2

2

的雙曲線．
即設(shè)2a=2

2

，2c=4?a=

2

，c=2，b=

2

所以所求的W的方程為x²-y²=2
（2）若k不存在，即x=2時(shí)，可得A（2，

2

），B（2，-

2

），|AB|=2

2

滿足題意；
若k存在，可設(shè)l：y=k（x-2）
聯(lián)立

y=k(x-2) x2-y2=2

，?（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0
由題意知

1-k2≠0 △＞0

?k∈R且k≠±1
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AB|=

△

|a|

1+k2

即

8k2+8

|1-k2|

1+k2

=2

2

?k=0即l：y=0
所以直線l的方程為x=2或y=0
（3）

PA

•

PB

=|

PA

||

PB

|cos∠APB=(d2-1)(1-2sin2APO′)
=(d2-1)[1-2(

1

d

)2]=

(d2-1)(d2-2)

d2

=d2+

2

d2

-3
由

PA

•

PB

=

36

5

知5d⁴-51d²+10=0
∴d2=

1

5

或10
設(shè)P（x，y），則d²=x²+（y-4）²=y²+2+（y-4）²=2y²-8y+18
所以2y2-8y+18=

1

5

或2y²-8y+18=10
解得y=2此時(shí)x=±

6

即P（±

6

，2）

點(diǎn)評(píng)：先求軌跡的方程，再利用方程來(lái)解決直線與圓錐曲線的問(wèn)題，是解析幾何中常見的一種題型，本題所給的求軌跡的方法是定義法，這樣可以減少題目的運(yùn)算量，注意設(shè)直線的方程時(shí)，要討論直線的斜率不存在的情況．