【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）證明：當時，函數(shù)沒有零點（提示：）

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）因為，所以.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.當時，取得極小值.（2）由（1）可知：當時，取得極小值，亦即最小值.又因為，所以．設(shè)，則，因為在上單調(diào)遞減，且，，所以有唯一的零點，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

又由于，，所以恒成立.從而恒成立，則恒成立.所以當時，函數(shù)沒有零點.

試題解析：解：（1）因為，

所以.

因為，所以當時，，當時，.

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.

當時，取得極小值.

（2）由（1）可知：當時，取得極小值，亦即最小值.

，又因為，所以．

設(shè)，則，

因為在上單調(diào)遞減，且，，

所以有唯一的零點，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

又由于，，

所以恒成立.從而恒成立，則恒成立.

所以當時，函數(shù)沒有零點.

練習冊系列答案
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