精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區(qū)間和極值；

（2）證明：當時，函數沒有零點（提示：）

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）因為，所以.所以函數的單調遞增區(qū)間為，單調減區(qū)間為.當時，取得極小值.（2）由（1）可知：當時，取得極小值，亦即最小值.又因為，所以．設，則，因為在上單調遞減，且，，所以有唯一的零點，使得在上單調遞增，在上單調遞減，

又由于，，所以恒成立.從而恒成立，則恒成立.所以當時，函數沒有零點.

試題解析：解：（1）因為，

所以.

因為，所以當時，，當時，.

所以函數的單調遞增區(qū)間為，單調減區(qū)間為.

當時，取得極小值.

（2）由（1）可知：當時，取得極小值，亦即最小值.

，又因為，所以．

設，則，

因為在上單調遞減，且，，

所以有唯一的零點，使得在上單調遞增，在上單調遞減，

又由于，，

所以恒成立.從而恒成立，則恒成立.

所以當時，函數沒有零點.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知點為拋物線：的焦點，點在拋物線上，且到原點的距離為.

（1）求拋物線的方程；

（2）已知點，延長交拋物線于點，證明：以點為圓心且與直線相切的圓，必與直線相切.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，射影定理可表示為a＝b·cosC＋c·cosB．其中a，b，c分別為角A，B，C的對邊，類比上述定理．寫出對空間四面體性質的猜想．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】直線l過原點(0,0),且不過第三象限,那么l的傾斜角α的取值范圍是 .

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，上頂點與兩焦點構成的三角形為正三角形．

（1）求橢圓的離心率；

（2）過點的直線與橢圓交于兩點，若的內切圓的面積的最大值為，求橢圓的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知點，橢圓的離心率為，是橢圓的右焦點，直線的斜率為，為坐標原點.

（1）求的方程；

（2）設過點的動直線與相交于兩點，當的面積最大時，求的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在空間中，下列命題錯誤的是　(　　)

A. 一條直線與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個相交

B. 一個平面與兩個平行平面相交，交線平行

C. 平行于同一平面的兩個平面平行

D. 平行于同一直線的兩個平面平行

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

已知圓在極坐標方程為，直線的參數方程為（為參數）.若直

線與圓相交于不同的兩點.

（Ⅰ）寫出圓的直角坐標方程，并求圓心的坐標與半徑；

（Ⅱ）若弦長，求直線的斜率.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】中，，，于點，于點.

（1）如圖1，作的角平分線交于點，連接.求證：；

（2）如圖2，連接，點與點關于直線對稱，連接、.

①依據題意補全圖形；

②用等式表示線段、、之間的數量關系，并加以證明.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案