Question

已知數(shù)列{a_n}首項(xiàng)a₁=1公差d＞0，且其第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別是等比數(shù)列{b_n}的第2，3，4項(xiàng)，
（1）求{a_n}{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}對(duì)任意自然數(shù)n均有

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

+…+

cn

bn

=an+1成立求c₁+c₂+…+c₂₀₀₇的值．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式寫(xiě)出題中的三項(xiàng)，列出方程，求出首項(xiàng)與公差，求出通項(xiàng)公式；
（2）令已知條件中的等式中的n用n-1代替仿寫(xiě)出另一個(gè)等式，兩個(gè)式子相減得到數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)，判斷出其為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和求出c₁+c₂+…+c₂₀₀₇．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列第二，五，十四項(xiàng)分別是a₁+d，a₁+4d，a₁+13d，
∵分別是等比數(shù)列{b_n}的第2，3，4項(xiàng)
∴（a₁+4d）²=（a₁+d）（a₁+13d），
解得d=2，a₁=1，
所以a_n=2n-1，
b_n=3^n-1
（2）

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

++

cn-1

bn-1

=an（n≥2）
又∵

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

+…+

cn

bn

=an+1
∴

cn

bn

=an+1-an，
c_n=2•3^n-1 （n≥2）
當(dāng)n=1時(shí)，

c1

b1

=a2，
所以c₁=a₂b₁=3
c₁+c₂+…+c₂₀₀₇=3²⁰⁰⁷．

點(diǎn)評(píng)：求等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)利用的方法是基本量法：由已知條件求出首項(xiàng)與公差或公比．