Question

如圖1，⊙O的直徑AB=4，點C、D為⊙O上兩點，且∠CAB=45°，∠DAB=60°，F(xiàn)為的中點．沿直徑AB折起，使兩個半圓所在平面互相垂直（如圖2）．
（1）求證：OF∥平面ACD；
（2）求二面角C-AD-B的余弦值；
（3）在上是否存在點G，使得FG∥平面ACD？若存在，試指出點G的位置，并求直線AG與平面ACD所成角的正弦值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）以O為坐標原點，以AB所在直線為y軸，以OC所在直線為z軸建立空間直角坐標系，求出向量與的坐標，利用向量共線的坐標表示求證OF∥AC，從而說明線面平行；
（2）根據(jù)，∠DAB=60°求出D點坐標，然后求出平面ACD的一個法向量，找出平面ADB的一個法向量，利用兩平面法向量所成角的余弦值求解二面角C-AD-B的余弦值；
（3）假設在上存在點G，使得FG∥平面ACD，根據(jù)（1）中的結論，利用兩面平行的判定定理得到平面OFG∥平面ACD，
從而得到OG∥AD，利用共線向量基本定理得到G的坐標（含有參數(shù)），然后由向量的模等于圓的半徑求出G點坐標，最后利用向量與平面ACD的法向量所成角的關系求直線AG與平面ACD所成角的正弦值．
解答：（1）證明：如圖，因為∠CAB=45°，連結OC，則OC⊥AB．
以AB所在的直線為y軸，以OC所在的直線為z軸，以O為原點，作空間直角坐標系O-xyz，
則A（0，-2，0），C（0，0，2）．

，
∵點F為的中點，∴點F的坐標為，
．∴，即OF∥AC．
∵OF?平面ACD，AC?平面ACD，∴OF∥平面ACD．
（2）解：∵∠DAB=60°，∴點D的坐標，．
設二面角C-AD-B的大小為θ，為平面ACD的一個法向量．
由有即
取x=1，解得，．∴=． 
取平面ADB的一個法向量=（0，0，1），
∴．
（3）設在上存在點G，使得FG∥平面ACD，∵OF∥平面ACD，∴平面OFG∥平面ACD，則有OG∥AD．
設，∵，∴．
又∵，∴，解得λ=±1（舍去-1）．∴，則G為的中點．
因此，在上存在點G，使得FG∥平面ACD，且點G為的中點．
設直線AG與平面ACD所成角為α，∵，
根據(jù)（2）的計算為平面ACD的一個法向量，
∴．
因此，直線AG與平面ACD所成角的正弦值為．
點評：本題主要考查空間點、線、面位置關系，線面角、二面角及三角函數(shù)等基礎知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查用向量方法解決數(shù)學問題的能力，此題是中檔題．