Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值和最小值；

（2）設(shè),且對(duì)于任意的,試比較與的大小.

Answer 1

【答案】（1）的最大值為，的最小值為；（2）

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，，且，,討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性與極值，與兩端點(diǎn)值比較即可求其最大值與最小值；（2）因?yàn)?/span>，所以的最小值為,設(shè)的兩個(gè)根為，則,不妨設(shè)，則，所以有即，令,求導(dǎo)討論函數(shù)的單調(diào)性可得，即，可證結(jié)論成立.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，且，

．

由，得；由，得，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；函數(shù)在上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)在區(qū)間僅有極大值點(diǎn)，故這個(gè)極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn)，

故函數(shù)在上的最大值是，

又，

故，故函數(shù)在上的最小值為．

（Ⅱ）由題意，函數(shù)f（x）在x=1處取到最小值，

又

設(shè)的兩個(gè)根為，則

不妨設(shè)，

則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故，

又，所以，即，即

令，則令，得,

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)x時(shí)，在（）上單調(diào)遞減；

因?yàn)?/span>

故，即，即.