Question

【題目】某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)該校高三學(xué)生視力情況進(jìn)行調(diào)查，在高三的全體1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的體檢表，并得到如圖的頻率分布直方圖.

（1）若直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估計(jì)全年級(jí)視力在5.0以下的人數(shù)；

（2）學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)成績(jī)突出的學(xué)生，近視的比較多，為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績(jī)是否有關(guān)系，對(duì)年級(jí)名次在1～50名和951～1000名的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，得到右表中數(shù)據(jù)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)系?

（3）在（2）中調(diào)查的100名學(xué)生中，按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取了9人，進(jìn)一步調(diào)查他們良好的護(hù)眼習(xí)慣，并且在這9人中任取3人，記名次在1～50的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：

Answer 1

【答案】（1）820人；（2）在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)系；（3）分布列見(jiàn)解析，期望為1．

【解析】試題分析：（Ⅰ）由頻率分布直方圖可知，當(dāng)前三組的頻率成等比數(shù)列，后四組的頻率成等差數(shù)列時(shí)，以下的頻率為，故全年級(jí)視力在以下的人數(shù)約為；

（Ⅱ）由，因此在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)系；

（Ⅲ）依題可取，，，，則，，

，，

所以的數(shù)學(xué)期望.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)各組的頻率為，

依題意，前三組的頻率成等比數(shù)列，后四組的頻率成等差數(shù)列，故

，，

所以由得，

所以視力在5.0以下的頻率為1-0.17=0.83，

故全年級(jí)視力在5.0以下的人數(shù)約為

(Ⅱ)

因此在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)系.

（Ⅲ）依題意9人中年級(jí)名次在1～50名和951～1000名分別有3人和6人，

可取0，1，2，3，

，，

，

的分布列為

X	0	1	2	3
P

的數(shù)學(xué)期望