Question

【題目】已知f(x)＝，x∈(－2，2)．

(1) 判斷f(x)的奇偶性并說明理由；

(2) 求證：函數(shù)f(x)在(－2，2)上是增函數(shù)；

(3) 若f(2＋a)＋f(1－2a)>0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 見解析：(2) 見解析：(3) a∈.

【解析】試題分析：（1）定義域 關(guān)于原點對稱，同時滿足f(x)=-f(-2)，所以是奇函數(shù)。（2）由定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，按假設(shè)，作差，變形，判斷，下結(jié)論過程完成。（3）由奇函數(shù)，原不等式變形為f(2＋a)>－f(1－2a)＝f(2a－1)，再由函數(shù)單調(diào)性及定義域可知，解不等式組可解。

試題解析：(1) 解：∵ f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴ f(x)是奇函數(shù)．

(2) 證明：設(shè)x1，x2為區(qū)間(－2，2)上的任意兩個值，且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝－

＝，

因為－2<x1<x2<2，所以x2－x1>0，x1x2－4<0，所以f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，

所以函數(shù)f(x)在(－2，2)上是增函數(shù)．

(3) 解：因為f(x)為奇函數(shù)，所以由f(2＋a)＋f(1－2a)>0得，f(2＋a)>－f(1－2a)＝f(2a－1)，

因為函數(shù)f(x)在(－2，2)上是增函數(shù)，

所以即

故a∈.