Question

（2013•宿遷一模）已知函數(shù)f（x）=lnx-x，h(x)=

lnx

x

．
（1）求h（x）的最大值；
（2）若關(guān)于x的不等式xf（x）≥-2x²+ax-12對(duì)一切x∈（0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）-x³+2ex²-bx=0恰有一解，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，求實(shí)數(shù)b的值．

Answer 1

分析：（1）已知h（x）的解析式，對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，從而求解；
（2）因?yàn)殛P(guān)于x的不等式xf（x）≥-2x²+ax-12對(duì)一切x∈（0，+∞）恒成立，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為xlnx-x²≥-2x²+ax-12對(duì)一切x∈（0，+∞）恒成立，利用常數(shù)分離法進(jìn)行求解；
（3）關(guān)于x的方程f（x）-x³+2ex²-bx=0恰有一解，可得

lnx

x

=x²-2ex+b+1恰有一解，構(gòu)造新函數(shù)h（x）=

lnx

x

利用導(dǎo)數(shù)研究h（x）的最大值，從而進(jìn)行求解；

解答：解：（1）因?yàn)?span id="3rt0xod" class="MathJye">h(x)=

lnx

x

，(x＞0)，所以h′(x)=

1-lnx

x2

，…（2分）
由h′（x）＞0，且x＞0，得0＜x＜e，由h′（x）＜0，且x＞0，x＞e，…（4分）
所以函數(shù)h（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，e]，單調(diào)減區(qū)間是[e，+∞），
所以當(dāng)x=e時(shí)，h（x）取得最大值

1

e

；…（6分）
（2）因?yàn)閤f（x）≥-2x²+ax-12對(duì)一切x∈（0，+∞）恒成立，
即xlnx-x²≥-2x²+ax-12對(duì)一切x∈（0，+∞）恒成立，
亦即a≤lnx+x+

12

x

對(duì)一切x∈（0，+∞）恒成立，…（8分）
設(shè)?(x)=lnx+x+

12

x

，因?yàn)?span id="0tbtixm" class="MathJye">?′(x)=

x2+x-12

x2

=

(x-3)(x+4)

x2

，
故?（x）在（0，3]上遞減，在[3，+∞）上遞增，?（x）_min=?（3）=7+ln3，
所以a≤7+ln3．  …（10分）
（3）因?yàn)榉匠蘤（x）-x³+2ex²-bx=0恰有一解，
即lnx-x-x³+2ex²-bx=0恰有一解，即

lnx

x

=x2-2ex+b+1恰有一解，
由（1）知，h（x）在x=e時(shí)，h(x)max=

1

e

，…（12分）
而函數(shù)k（x）=x²-2ex+b+1在（0，e]上單調(diào)遞減，在[e，+∞）上單調(diào)遞增，
故x=e時(shí)，k（x）_min=b+1-e²，
故方程

lnx

x

=x²-2ex+b+1恰有一解當(dāng)且僅當(dāng)b+1-e²=

1

e

，
即b=e²+

1

e

-1；

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域與單調(diào)區(qū)間．注意函數(shù)的定義域，此題是一道中檔題，考查學(xué)生計(jì)算能力；