Question

已知中心在原點(diǎn)O、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C過點(diǎn)M（2，1），離心率為

3

2

．如圖，平行于OM的直線l交橢圓C于不同的兩點(diǎn)A，B．
（1）當(dāng)直線l經(jīng)過橢圓C的左焦點(diǎn)時(shí)，求直線l的方程；
（2）證明：直線MA，MB與x軸總圍成等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）由e=

c

a

=

3

2

，設(shè)橢圓方程為

x2

4b2

+

y2

b2

=1，將M（2，1）代入，得b²=2，由此能求出橢圓C的方程，從而能夠求出直線l的方程．
（2）設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k₁，k₂，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

，設(shè)l：y=

1

2

x+m，由

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1

，得x²+2mx+2m²-4=0，推導(dǎo)出k₁+k₂=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=0，由此能證明直線MA，MB與x軸總圍成等腰三角形．

解答：（1）解：∵e=

c

a

=

3

2

，∴設(shè)橢圓方程為

x2

4b2

+

y2

b2

=1，
將M（2，1）代入，得

4

4b2

+

1

b2

=1，解得b²=2，
所以橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

2

=1，
因此左焦點(diǎn)為（-

6

，0），斜率k1=kOM=

1

2

，
所以直線l的方程為y=

1

2

（x+

6

），即y=

1

2

x+

6

2

．
（2）證明：設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k₁，k₂，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

，
∴k₁+k₂=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

( 1 2 x1+m-1)(x2-2)+( 1 2 x2+m-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

，（*）
設(shè)l：y=

1

2

x+m，由

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1

，得x²+2mx+2m²-4=0，
所以x₁+x₂=-2m，x1x2=2m2-4，
代入（*）式，得
k₁+k₂=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4-2m2+4m-4m+4

(x1-2)(x2-2)

=0．
所以直線MA，MB與x軸總圍成等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程的求法，考查直線MA，MB與x軸總圍成等腰三角形的證明．具體涉及到橢圓的簡單性質(zhì)、直線方程的性質(zhì)、韋達(dá)定理等基本知識(shí)點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．