已知函數(shù)的定義域為(0,+∞),且單調遞增,滿足f(4)=1,f(xy)=f(x)+f(y).
(Ⅰ)證明:f(1)=0;
(Ⅱ)若f(x)+f(x-3)≤1,求x的取值范圍.
分析:(Ⅰ)令x=y=1即證f(1)=0;
(Ⅱ)依題意,可求f(x(x-3))<f(4),利用函數(shù)的定義域為(0,+∞),且單調遞增,即可求得x的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)令x=y=1,則f(1×1)=f(1)+f(1),
∴f(1)=0;
(Ⅱ)∵f(4)=1,f(xy)=f(x)+f(y),
∴f(x)+f(x-3)≤1=f(4)?f(x(x-3))≤f(4),
∵函數(shù)的定義域為(0,+∞),且單調遞增,
x>0
x-3>0
x(x-3)≤4
,解得3<x≤4,
∴x的取值范圍為(3,4].
點評:本題考查抽象函數(shù)及其應用,著重考查賦值法即函數(shù)單調性的性質,考查解不等式組的能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)的定義域為R,對任意的x1,x2都滿足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),當x>0時,f(x)>0.
(I)試判斷并證明f(x)的奇偶性;
(II)試判斷并證明f(x)的單調性;
(III)若f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>0對所有的θ∈[0,
π2
]
均成立,求實數(shù)m 的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年浙江省杭州市七校高三上學期期中聯(lián)考理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù)的定義域為,

(1)求;

(2)若,且的真子集,求實數(shù)的取值范圍.

 

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科目:高中數(shù)學 來源:2014屆遼寧朝陽高二下學期期中考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題

已知函數(shù)的定義域為,部分對應值如下表。的導函數(shù)的圖像如圖所示。

0

下列關于函數(shù)的命題:

①函數(shù)上是減函數(shù);②如果當時,最大值是,那么的最大值為;③函數(shù)個零點,則;④已知的一個單調遞減區(qū)間,則的最大值為

其中真命題的個數(shù)是(           )

A、4個    B、3個  C、2個  D、1個

 

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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年海南省?谑懈呷呖颊{研考試理科數(shù)學 題型:選擇題

已知函數(shù)的定義域為,且,的導函數(shù),函數(shù)的圖象如圖所示.若正數(shù),滿足,則的取值范圍是

    A.    B.  C.    D.

 

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