Question

已知函數(shù)為奇函數(shù).
（1）求常數(shù)的值；
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并說明理由；
（3）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象先向右平移2個單位，再向上平移2個單位得到，寫出的一個對稱中心，若，求的值.

Answer 1

（1）；（2）減函數(shù)，證明見解析；（3）對稱中心，．

試題分析：（1）本題唯一的條件是為奇函數(shù)，故其定義域關(guān)于原點對稱，通過求函數(shù)的定義域可求得，當(dāng)然這時還要根據(jù)奇函數(shù)的定義驗證確實是奇函數(shù)；（2）要判斷函數(shù)的單調(diào)性，可根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)確定，然后再根據(jù)定義證明，而函數(shù)為奇函數(shù)，故只要判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性即可，變形為可得在是遞減，當(dāng)然它在上也是遞減的，然后用單調(diào)性定義田加以證明；（3）為奇函數(shù)，它的對稱中心為，的圖象是由的圖象平移過去的，因此對稱中心也相應(yīng)平移，即對稱中心為，函數(shù)的圖象對稱中心為，則有性質(zhì)：，因此本題是有，即.
試題解析：(1)因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以定義域關(guān)于原點對稱，由，得
，所以.                       2分
這時滿足，函數(shù)為奇函數(shù)，因此       4分
（2）函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù).
法一:用單調(diào)性定義證明；
法二：利用已有函數(shù)的單調(diào)性加以說明.
在上單調(diào)遞增，因此單調(diào)遞增，又在及上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在及上單調(diào)遞減；
法三：函數(shù)定義域為，說明函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為函數(shù)為奇函數(shù)，因此函數(shù)在上也是單調(diào)遞減，因此函數(shù)在及上單調(diào)遞減.
10分
（本題根據(jù)具體情況對照給分）
（3）因為函數(shù)為奇函數(shù)，因此其圖像關(guān)于坐標(biāo)原點（0,0）對稱，根據(jù)條件得到函數(shù)的一個對稱中心為，                              13分
因此有，因為，因此 16分