【題目】已知橢圓：的右焦點與拋物線的焦點重合，曲線與相交于點．

（1）求橢圓的方程；

（2）過右焦點的直線（與軸不重合）與橢圓交于，兩點，線段的中點，連接并延長交橢圓于點（為坐標原點），求四邊形面積的最小值．

【答案】（1）（2）最小值為3．

【解析】

（1）將點帶入拋物線方程，可求得的值，進而得焦點坐標；將點代入橢圓方程，并結(jié)合橢圓中的等量關系，解方程組求得，即可得橢圓的方程；

（2）方法一：設，，，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達定理表示出，進而由弦長公式表示出弦長；由中點坐標公式表示出的坐標，進而可表示出直線的方程，代入橢圓后求得點坐標，由點到直線距離公式求得到的距離和到的距離，即可表示出四邊形面積，即可確定面積的最小值；方法二：當直線斜率不存在時，易得四邊形面積，當斜率存在時，設，，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，求得點坐標，同上即可.

（1）點在上，

，

，

橢圓的右焦點為，

，解得，

橢圓的標準方程為．

（2）解法一：設，，，

設直線AC的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，

整理得．

由韋達定理得，，

由弦長公式可得

，

由中點坐標公式可知，，

，

直線OG的方程為，代入，

整理得，

取點，

B到直線AC的距離

，

O到直線AC的距離，

，當且僅當時取得最小值．

綜上所述，四邊形OABC的面積最小值是3．

解法二：①當斜率不存在時，直線AC的方程為，

此時；

②當直線AC斜率存在時，設為k，

，，

AC的方程為，

與橢圓方程聯(lián)立，

得，

，

，，

．

的方程為，

聯(lián)立，得，

不妨設，，

B到直線AC的距離為，

O到直線AC的距離為，

由弦長公式得

，

．

綜上所述，當直線AC垂直于x軸時，面積取得最小值為3．

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】在中，，，分別為內(nèi)角，，的對邊，且滿.

（1）求的大小；

（2）再在①，②，③這三個條件中，選出兩個使唯一確定的條件補充在下面的問題中，并解答問題.若________，________，求的面積.

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（1）求曲線C和直線的直角坐標系方程；

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【題目】如圖所示，在棱長為4的正方體中，點M是正方體表面上一動點，則下列說法正確的個數(shù)為（ ）

①若點M在平面ABCD內(nèi)運動時總滿足，則點M在平面ABCD內(nèi)的軌跡是圓的一部分；

②在平面ABCD內(nèi)作邊長為1的小正方形EFGA，點M滿足在平面ABCD內(nèi)運動，且到平面的距離等于到點F的距離，則M在平面ABCD內(nèi)的軌跡是拋物線的一部分；

③已知點N是棱CD的中點，若點M在平面ABCD內(nèi)運動，且平面，則點M在平面內(nèi)的軌跡是線段；

④已知點P、Q分別是，的中點，點M為正方體表面上一點，若MP與CQ垂直，則點M所構(gòu)成的軌跡的周長為.

A.1B.2C.3D.4

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【題目】自湖北武漢爆發(fā)新型冠狀病毒肺炎疫情以來，各地醫(yī)療物資缺乏，各生產(chǎn)企業(yè)紛紛加班加點生產(chǎn)，某企業(yè)準備購買三臺口罩生產(chǎn)設備，型號分別為A，B，C，已知這三臺設備均使用同一種易耗品，提供設備的商家規(guī)定：可以在購買設備的同時購買該易耗品，每件易耗品的價格為100元；也可以在設備使用過程中，隨時單獨購買易耗品，每件易耗品的價格為200元．為了決策在購買設備時應同時購買的易耗品的件數(shù)，該單位調(diào)查了這三種型號的設備各60臺，調(diào)查每臺設備在一個月中使用的易耗品的件數(shù)，并得到統(tǒng)計表如下所示．

每臺設備一個月中使用的易耗品的件數(shù)

6

7

8

頻數(shù)

型號A

30

30

0

型號B

20

30

10

型號C

0

45

15

將調(diào)查的每種型號的設備的頻率視為概率，各臺設備在易耗品的使用上相互獨立．

（1）求該單位一個月中A，B，C三臺設備使用的易耗品總數(shù)超過21件（不包括21件）的概率；

（2）以該單位一個月購買易耗品所需總費用的期望值為決策依據(jù)，該單位在購買設備時應同時購買20件還是21件易耗品?

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（1）求證：平面平面；

（2）當三棱錐體積最大時，求二面角的余弦值．

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（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于兩點，直線,斜率的乘積為，求的取值范圍.

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【題目】某機構(gòu)組織的家庭教育活動上有一個游戲，每次由一個小孩與其一位家長參與，測試家長對小孩飲食習慣的了解程度．在每一輪游戲中，主持人給出A，B，C，D四種食物，要求小孩根據(jù)自己的喜愛程度對其排序，然后由家長猜測小孩的排序結(jié)果．設小孩對四種食物排除的序號依次為xAxBxCxD，家長猜測的序號依次為yAyByCyD，其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1，2，3，4四個數(shù)字的一種排列．定義隨機變量X＝（xA﹣yA）2+（xB﹣yB）2+（xC﹣yC）2+（xD﹣yD）2，用X來衡量家長對小孩飲食習慣的了解程度．

（1）若參與游戲的家長對小孩的飲食習慣完全不了解．

（ⅰ）求他們在一輪游戲中，對四種食物排出的序號完全不同的概率；

（ⅱ）求X的分布列（簡要說明方法，不用寫出詳細計算過程）；

（2）若有一組小孩和家長進行來三輪游戲，三輪的結(jié)果都滿足X＜4，請判斷這位家長對小孩飲食習慣是否了解，說明理由．

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大二學生場均關注比賽時間的頻數(shù)分布表

時間分組

頻數(shù)

12

20

24

22

16

6

（1）將頻率視為概率，估計哪個年級的大學生是“賽迷”的概率大，請說明理由；

（2）已知抽到的100名大一學生中有男生50名，其中10名為“賽迷”試完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有的把握認為“賽迷”與性別有關.

非“賽迷”

“賽迷”

合計

男

女

合計

附：，其中.

0.15

0.10

0.05

0.025

2.072

2.706

3.841

5.024

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