Question

11．設(shè)x、y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2≤0}\\{x-y≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+2by（a＞0，b＞0）的最大值為1，則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值為（　　）

• A． 3+2$\sqrt{2}$
• B． 3-2$\sqrt{2}$
• C． 8
• D． 10

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求得a+2b=1，然后利用基本不等式求得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2≤0}\\{x-y≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

化目標(biāo)函數(shù)z=ax+2by（a＞0，b＞0）為$y=-\frac{a}{2b}x+\frac{z}{2b}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{3x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得B（1，1），
由圖可知，當(dāng)直線$y=-\frac{a}{2b}x+\frac{z}{2b}$過(guò)B時(shí)直線在y軸上的截距最大，z有最大值為a+2b=1，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）（a+2b）=3+$\frac{2b}{a}+\frac{a}$$≥3+2\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{a}}=3+2\sqrt{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$a=\sqrt{2}b$時(shí)上式等號(hào)成立．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了基本不等式求最值，是中檔題．