Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c（其中b＞2），且y=f（sinx）的最大值為5，最小值為-1．若f（x）≥-m²+2km+1對(duì)x∈[0，c]，k∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：運(yùn)用sinx的值域，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱軸，運(yùn)用單調(diào)性可得最值，可得b，c的方程，解方程即可得到f（x）的解析式，再求f（x）在[0，1]的最小值，再由一次函數(shù)的單調(diào)性，解不等式即可得到m的范圍．

解答： 解：由條件知f（x）=x²+bx+c，x∈[-1，1]的最大值為5，最小值為-1，
而b＞2，則對(duì)稱軸x=-

b

2

＜-1，[-1，1]為增區(qū)間，
則

f(-1)=-1 f(1)=5

，即

c-b+1=-1 b+c+1=5

，
解得

b=3 c=1

則f（x）=x²+3x+1．
f（x）≥-m²+2km+1對(duì)x∈[0，c]，k∈[-1，1]恒成立，
即為x²+3x+1≥-m²+2km+1對(duì)x∈[0，1]，k∈[-1，1]恒成立，
f（x）在[0，1]遞增，f（0）取得最小值，且為1，
則有-m²+2km≤0恒成立，即有-m²-2m≤0且-m²+2m≤0，
則有m=0或m≥2或m≤-2．
即m的取值范圍是（-∞，-2]∪[2，+∞）∪{2}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的解析式的求法，考查不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．