15．設n∈N，且n＞0，試用數(shù)學歸納法證明1+21+22+23+…+23n-1 能被31整除．

分析 當n=1時，1+21+22+23+…+25n-1=31能被31整除，假設n=k時，1+21+22+23+…+25n-1 能被31整除，則則n=k+1時，1+21+22+23+…+23（k+1）-1也能被31整除，綜合可得結論．

解答 證明：當n=1時，1+21+22+23+…+25n-1=1+21+22+23+24=25-1=31能被31整除，
假設n=k時，1+21+22+23+…+25n-1 能被31整除，
不妨令1+21+22+23+…+25k-1=31a，a∈Z，
則n=k+1時，
1+21+22+23+…+23（k+1）-1
=1+21+22+23+…+25k-1+25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4
=31a+25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4
=31a+25k（1+21+22+23+24）
=31a+31•25k也能被31整除，
綜上所述n∈N，且n＞0時，1+21+22+23+…+23n-1 能被31整除．

點評 本題考查的知識點是數(shù)學歸納法，熟練掌握數(shù)學歸納的證明步驟是解答的關鍵．

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