Question

如圖,在橢圓C中,點(diǎn)F₁是左焦點(diǎn),A(a,0),B(0,b)分別為右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),點(diǎn)O為橢圓的中心.又點(diǎn)P在橢圓上,且滿足條件:OP∥AB,點(diǎn)H是點(diǎn)P在x軸上的射影.

(1)求證:當(dāng)a取定值時(shí),點(diǎn)H必為定點(diǎn);

(2)如果點(diǎn)H落在左頂點(diǎn)與左焦點(diǎn)之間,試求橢圓離心率的取值范圍;

(3)如果以O(shè)P為直徑的圓與直線AB相切,且凸四邊形ABPH的面積等于3+2,求橢圓的方程.

Answer 1

解:(1)證明：由k_AB=,OP∥AB,得l_OP:y=x,代入橢圓方程=1,得x²=,

∴P(a,b)或P(a, b).∵PH⊥x軸,

∴H(a,0)或H(a,0).∵a為定值,∴H為定點(diǎn);

(2)∵點(diǎn)H落在左頂點(diǎn)與左焦點(diǎn)之間,

∴只有H(a,0),且-a＜-a＜-c,

可解得0＜e＜;

(3)以O(shè)P為直徑的圓與直線AB相切等價(jià)于點(diǎn)O到直線AB的距離等于|OP|.

由條件設(shè)直線AB:+=1,則點(diǎn)O到直線AB的距離d=,又|OP|=,∴,

得a²+b²=2ab.①

又由S_{四邊形ABPH}=S_△ABO+S_{四邊形OBPH}=ab+(b+b)a=ab=3+,得ab=4,②

由①②解得a²=4(+1),b²=4(-1),

∴所求橢圓方程為=1.