已知橢圓過點，橢圓左右焦點分別為，上頂點為，為等邊三角形.定義橢圓C上的點的“伴隨點”為.
（1）求橢圓C的方程；
（2）求的最大值；
（3）直線l交橢圓C于A、B兩點,若點A、B的“伴隨點”分別是P、Q,且以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O.橢圓C的右頂點為D，試探究ΔOAB的面積與ΔODE的面積的大小關(guān)系,并證明.

（1）（2）（3）的面積是定值

解析試題分析：解：（1）由已知，解得 ,方程為.4分
（2）當時，顯然，由橢圓對稱性，只研究即可，
設(shè)（），于是            5分
（當且僅當時取等號） 8分
（3） 設(shè),則;
1)當直線的斜率存在時,設(shè)方程為,
由 得: ；
有  ①          10分
由以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O可得: ；
整理得:   ②
將①式代入②式得: ,              12分
 
又點到直線的距離
===
所以                   14分
2) 當直線的斜率不存在時,設(shè)方程為
聯(lián)立橢圓方程得: ；
代入得；
,    
綜上: 的面積是定值 
又的面積也為,所以二者相等.                  16分
考點：橢圓的方程與性質(zhì)
點評：主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的運用，屬于中檔題。

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知中心在原點的橢圓C：的一個焦點為，為橢圓C上一點，的面積為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)是否存在平行于OM的直線，使得直線與橢圓C相交于A，B兩點，且以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知動點到點的距離與到直線的距離之比為定值，記的軌跡為．

（1）求的方程，并畫出的簡圖；
（2）點是圓上第一象限內(nèi)的任意一點，過作圓的切線交軌跡于，兩點．
（i）證明：；
（ii）求的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知中心在坐標原點焦點在軸上的橢圓C,其長軸長等于4,離心率為．
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)若點(0,1), 問是否存在直線與橢圓交于兩點,且？若存在,求出的取值范圍,若不存在,請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，過拋物線（＞0）的頂點作兩條互相垂直的弦OA、OB。

⑴設(shè)OA的斜率為k，試用k表示點A、B的坐標；
⑵求弦AB中點M的軌跡方程。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線，直線截拋物線C所得弦長為.
（1）求拋物線的方程；
（2）已知是拋物線上異于原點的兩個動點，記若試求當取得最小值時的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線的焦點為F2，點F1與F2關(guān)于坐標原點對稱，直線m垂直于軸（垂足為T），與拋物線交于不同的兩點P、Q，且.
（Ⅰ）求點T的橫坐標；
（Ⅱ）若橢圓C以F1,F2為焦點，且F1,F2及橢圓短軸的一個端點圍成的三角形面積為1.
① 求橢圓C的標準方程；
② 過點F2作直線l與橢圓C交于A,B兩點，設(shè)，若的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左焦點F為圓的圓心，且橢圓上的點到點F的距離最小值為。
（I）求橢圓方程；
（II）已知經(jīng)過點F的動直線與橢圓交于不同的兩點A、B，點M（），證明：為定值。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在直角坐標平面內(nèi)，以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.已知曲線的參數(shù)方程為，曲線的極坐標方程為．
（Ⅰ）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程；
（Ⅱ）判斷曲線與曲線的交點個數(shù)，并說明理由．

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