Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{3}{x^3}-\frac{1}{2}（a+1）{x^2}+x-\frac{1}{3}$（a∈R）．
（1）若a＜0，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）當a≤1時，判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上零點的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，列出表格求出函數(shù)的極值即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的零點個數(shù)即可．

解答 解：（1）$f'（x）=a{x^2}-（a+1）x+1=a（x-1）（x-\frac{1}{a}）$，
∵a＜0，∴$\frac{1}{a}＜1$

	$（-∞，\frac{1}{a}）$	$\frac{1}{a}$	$（\frac{1}{a}，1）$	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	遞減	極小值	遞增	極大值	遞減

所以f（x）的極小值為$f（\frac{1}{a}）=\frac{{-2{a^2}+3a-1}}{{6{a^2}}}$，
極大值為$f（1）=-\frac{1}{6}（a-1）$．
（2）由（1）得$f'（x）=a{x^2}-（a+1）x+1=a（x-1）（x-\frac{1}{a}）$，
①當a＜0時，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，在[1，2]上遞減．
又因為$f（1）=-\frac{1}{6}（a-1）＞0$，$f（0）=-\frac{1}{3}＜0$，$f（2）=\frac{1}{3}（2a-1）＜0$，
所以f（x）在[0，2]上有兩個零點；
②當a=0時，$f（x）=-\frac{1}{2}x+x-\frac{1}{3}$，在[0，2]上有兩個零點；
③當$0＜a≤\frac{1}{2}$時，$\frac{1}{a}≥2$，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，在[1，2]上遞減，
又因為$f（1）=-\frac{1}{6}（a-1）＞0$，$f（0）=-\frac{1}{3}＜0$，$f（2）=\frac{1}{3}（2a-1）≤0$，
所以f（x）在[0，2]上有兩個零點；
④當$\frac{1}{2}＜a＜1$時，$1＜\frac{1}{a}＜2$，所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在$（1，\frac{1}{a}）$上遞減，在$（\frac{1}{a}，2）$上遞增．
又因為$f（1）=-\frac{1}{6}（a-1）＞0$，$f（0）=-\frac{1}{3}＜0$，$f（\frac{1}{a}）=\frac{{-2{a^2}+3a-1}}{{6{a^2}}}=\frac{-（2a-1）（a-1）}{{6{a^2}}}＞0$，
所以f（x）在[0，1]上有且僅有一個零點，在[1，2]上沒有零點，
所以f（x）在[0，2]上有且僅有一個零點；
⑤當a=1時，f'（x）≥0恒成立，f（x）在[0，2]單調(diào)遞增，
∵$f（0）=-\frac{1}{3}＜0$，f（2）＞0，
所以f（x）在[0，2]上有且僅有一個零點，
綜上可知，當$\frac{1}{2}＜a≤1$時，f（x）在[0，2]上有且僅有一個零點；
當$a≤\frac{1}{2}$時，f（x）在[0，2]上有兩個零點．

點評 本題考查了求函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)的零點問題，是一道中檔題．