Question

橢圓C以雙曲線

x2

36

-

y2

64

=1的焦點(diǎn)F₁、F₂為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若橢圓上存在一點(diǎn)P滿足∠F₁PF₂=60°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出雙曲線

x2

36

-

y2

64

=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±10，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（±6，0），可得橢圓中的a，b，即可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）利用等面積，即可求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）雙曲線

x2

36

-

y2

64

=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±10，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（±6，0），
∵橢圓C以雙曲線

x2

36

-

y2

64

=1的焦點(diǎn)F₁、F₂為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，
∴a=10，c=6，
∴b=8，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

100

+

y2

64

=1；
（2）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，則m+n=20①
m²+n²-mn=144②
由①²-②得mn=

256

3

，
∴S=

1

2

×

256

3

×

3

2

=

64

3

3

，
設(shè)P（x，y），則

1

2

×12×|y|=

64

3

3

，
∴|y|=

32 3

9

，
∴|x|=

10

9

33

，
∴P（

10

9

33

，

32 3

9

）或（

10

9

33

，-

32 3

9

）或（-

10

9

33

，

32 3

9

）或（-

10

9

33

，-

32 3

9

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．