如圖，設(shè)曲線y=e-x（x≥0）在點(diǎn)M（t，e-t）處的切線l與x軸y軸所圍成的三角形面積為S（t），求：
（1）切線l的方程；
（2）求證數(shù)學(xué)公式．

解：（1）∵f′（x）=（e-x）′=-e-x，∴切線l的斜率為-e-t
故切線l的方程為y-e-t=-e-t（x-t），即e-tx+y-e-t（t+1）=0
（2）證明：令y=0得x=t+1，又令x=0得y=e-t（t+1），
∴
從而．
∵當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，S′（t）＞0，當(dāng)t∈（1，+∞）時(shí)，S′（t）＜0，
∴S（t）的最大值為，即
分析：（1）先求切線斜率，進(jìn)而可求切線方程；
（2）根據(jù)曲線y=e-x（x≥0）在點(diǎn)M（t，e-t）處的切線l與x軸y軸所圍成的三角形面積為S（t），表示出S（t），再用導(dǎo)數(shù)法求解．
點(diǎn)評：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，并結(jié)合函數(shù)圖象，可快速獲解，也充分體現(xiàn)了求導(dǎo)法在證明不等式中的優(yōu)越性．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，過曲線C：y=e-x上一點(diǎn)P0（0，1）做曲線C的切線l0交x軸于Q1（x1，0）點(diǎn)，又過Q1做x軸的垂線交曲線C于P1（x1，y1）點(diǎn)，然后再過P1（x1，y1）做曲線C的切線l1交x軸于Q2（x2，0），又過Q2做x軸的垂線交曲線C于P2（x2，y2），…，以此類推，過點(diǎn)Pn的切線ln與x軸相交于點(diǎn)Qn+1（xn+1，0），再過點(diǎn)Qn+1做x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)Pn+1（xn+1，yn+1）（n=1，2，3，…）．
（1）求x1、x2及數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)曲線C與切線ln及垂線Pn+1Qn+1所圍成的圖形面積為Sn，求Sn的表達(dá)式；
（3）若數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)之和為Tn，求證：
Tn+1
Tn
＜
xn+1
xn
（n∈N+）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，設(shè)曲線y=e-x（x≥0）在點(diǎn)M（t，e-t）處的切線l與x軸y軸所圍成的三角形面積為S（t），求：
（1）切線l的方程；
（2）求證S(t)≤
2e
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年江蘇五校高三下學(xué)期期初教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)卷（解析版） 題型：解答題

 

A．（幾何證明選講選做題）

如圖，已知AB為圓O的直徑，BC切圓O于點(diǎn)B，AC交圓O于點(diǎn)P，E為線段BC的中點(diǎn)．求證：OP⊥PE．

B．（矩陣與變換選做題）

已知M＝，N＝，設(shè)曲線y＝sinx在矩陣MN對應(yīng)的變換作用下得到曲線F，求F的方程．

C．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線m的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）；在以O為極點(diǎn)、射線Ox為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsinθ＝8cosθ．若直線m與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長．

D．（不等式選做題）

設(shè)x，y均為正數(shù)，且x＞y，求證：2x＋≥2y＋3．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，過曲線C：y=e-x上一點(diǎn)P0（0，1）做曲線C的切線l0交x軸于Q1（x1，0）點(diǎn)，又過Q1做x軸的垂線交曲線C于P1（x1，y1）點(diǎn)，然后再過P1（x1，y1）做曲線C的切線l1交x軸于Q2（x2，0），又過Q2做x軸的垂線交曲線C于P2（x2，y2），…，以此類推，過點(diǎn)Pn的切線ln與x軸相交于點(diǎn)Qn+1（xn+1，0），再過點(diǎn)Qn+1做x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)Pn+1（xn+1，yn+1）（n=1，2，3，…）．
（1）求x1、x2及數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)曲線C與切線ln及垂線Pn+1Qn+1所圍成的圖形面積為Sn，求Sn的表達(dá)式；
（3）若數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)之和為Tn，求證：數(shù)學(xué)公式（n∈N+）．

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