Question

如圖所示，曲線段OMB是函數(shù)f（x）=x²（0＜x＜6）的圖象，BA⊥x軸于A，曲線段OMB上一點M（t，f（t））處的切線PQ交x軸于P，交線段AB于Q，
（Ⅰ）試用t表示出△QAP的面積g（t）；
（Ⅱ）求函數(shù)g（t）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導函數(shù)，得到曲線在M點處的切線的斜率，由點斜式寫出切線方程，代值求出P、Q點的坐標，利用三角形的面積公式得到g（t）的函數(shù)解析式；
（Ⅱ）對g（t）求導，由導函數(shù)小于0求出t的范圍，結(jié)合原題給出的定義域得到函數(shù)g（t）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)點M（t，t²），又f'（x）=2x，
∴過點M的切線PQ的斜率k=2t，
∴切線PQ的方程為：y-t²=2t（x-t），即y=2tx-t²，
取y=0，得x=

t

2

，取x=6，得y=12t-t²．
∴P（

t

2

，0），Q（6，12t-t²）．
∴g（t）=S_△QAP=

1

2

(6-

1

2

t)•（12t-t²）
=

t3

4

-6t2+36t，（0＜t＜6）；
（Ⅱ）由g（t）=

t3

4

-6t2+36t，（0＜t＜6）．
得：g'（t）=

3t2

4

-12t+36，令g'（t）＜0，得4＜t＜12，
考慮到0＜t＜6，∴4＜t＜6，
∴函數(shù)g（t）的單調(diào)遞減區(qū)間是（4，6）．

點評：本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，訓練了利用導數(shù)求曲線在某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．屬中檔題．