Question

（2008•上海模擬）若一條曲線既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，則稱這條曲線為“二重對(duì)稱曲線”，給出下列四條曲線：(1)  x2+

y2

4

=1  (2)  x2=y+1(3)  y=

3

cos(2x+

π

6

)  (4)   y=kx+b  (k，b∈R)
其中是“二重對(duì)稱曲線”的有

（1），（3）

．

Answer 1

分析：（1）由題意可得方程x2+

y2

4

=1表示橢圓，由橢圓的性質(zhì)可得此曲線是二重對(duì)稱曲線．
（2）由x²=y+1可得y=x²-1，所以函數(shù)y=x²-1是二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得曲線x²=y+1不是二重對(duì)稱曲線．
（3）函數(shù)y=

3

cos(2x+

π

6

)的圖象由余弦函數(shù)的圖象平移變換而來，有余弦函數(shù)的性質(zhì)可得曲線y=

3

cos(2x+

π

6

)是二重對(duì)稱曲線．
（4）由一次函數(shù)的性質(zhì)可得：只有當(dāng)k=0時(shí)，曲線y=kx+b（k，b∈R）才有對(duì)稱軸與對(duì)稱中心，所以曲線y=kx+b（k，b∈R）不是二重對(duì)稱曲線．

解答：解：（1）由題意可得方程x2+

y2

4

=1表示橢圓，由橢圓的性質(zhì)可得橢圓即關(guān)于x軸，y軸對(duì)稱也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以曲線x2+

y2

4

=1是二重對(duì)稱曲線，所以選（1）．
（2）由x²=y+1可得y=x²-1，所以函數(shù)y=x²-1是二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得其只有對(duì)稱軸，所以曲線x²=y+1不是二重對(duì)稱曲線，所以不選（2）．
（3）函數(shù)y=

3

cos(2x+

π

6

)的圖象由余弦函數(shù)的圖象平移變換而來，因?yàn)橛嘞液瘮?shù)的圖象有對(duì)稱軸與對(duì)稱中心．所以可得曲線y=

3

cos(2x+

π

6

)是二重對(duì)稱曲線，所以選（3）．
（4）由一次函數(shù)的性質(zhì)可得：只有當(dāng)k=0時(shí)，曲線y=kx+b（k，b∈R）才有對(duì)稱軸與對(duì)稱中心，所以曲線y=kx+b（k，b∈R）不是二重對(duì)稱曲線，所以不選（4）．
故答案為：（1）（3）．

點(diǎn)評(píng)：本題只有考查曲線的對(duì)稱性，解決此題的關(guān)鍵是熟練掌握常用函數(shù)的性質(zhì)以及題中的新定義，此題屬于基礎(chǔ)題．