Question

【題目】已知函數(shù)f(x)=aex﹣x，

（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間，

（2）若關(guān)于x不等式aex≥x+b對任意和正數(shù)b恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析.（2）

【解析】

（1）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出；

（2）先根據(jù)（1）利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)最值的關(guān)系求出，可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可.

（1）f′(x)=aex﹣1，

當(dāng)a≤0時(shí)， <0，f(x)在R上單調(diào)遞減，

若a>0時(shí)，令=aex﹣1=0，x=﹣lna，

在x>﹣lna時(shí)， >0，f(x)為增函數(shù)，

在x<﹣lna時(shí)， <0，f(x)為減函數(shù)，

所以，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，無增區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為.

（2）f(x)=aex﹣x，由題意f(x)min≥b，

由（1）可知，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞減，無最小值，不符合題意，

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)min=f(﹣lna)=1+lna≥b，

∴，

設(shè)h(a)，則 ，

a∈(0，1]， <0；a∈[1，+∞)，≥0，

∴h(a)min=h（1）=1.

所以的最小值為.