Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-2（n=1，2，3，…）
（1）求數(shù)列{a_n}通項公式a_n；
（2）設bn=

an

(an-1)(2an-1)

，數(shù)列{a_n}的前n項和為T_n，
求證：

2

3

≤T_n＜1．

Answer 1

分析：（1）n=1時，a₁=2．由S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，知S_n-S_n-1=a_n，n≥2，n∈N^*，由此能導出an=2n．
（2）由bn=

an

(an-1)(2an-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，知Tn=(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

7

)+(

1

7

-

1

15

)+…+(

1

2 n-1

-

1

2n+1-1

)
=1-

1

2n+1-1

．由此能夠證明

2

3

≤Tn＜1．

解答：解：（1）n=1時，a₁=S₁=2a₁-2，
∴a₁=2．
∵S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，
∵S_n-S_n-1=a_n，n≥2，n∈N^*，
∴a_n=2a_n-2a_n-1，
∵a_n≠0，
∴

an

an-1

=2，n≥2，n∈N^*，
即數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項a₁=2，公比q=2，
∴an=2n．
（2）∵bn=

an

(an-1)(2an-1)

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，
∴Tn=(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

7

)+(

1

7

-

1

15

)+…+(

1

2 n-1

-

1

2n+1-1

)
=1-

1

2n+1-1

．（10分）
∵n∈N^*，
∴0＜

1

2n+1-1

≤

1

3

，

2

3

≤Tn＜1．（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求解和前n項和的證明，解題時要認真審題，仔細解答，注意數(shù)列與不等式的綜合運用，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．