Question

10．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=$\frac{π}{2}$，D為AC中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且∠CDE=∠ABC．
（1）求證：DE⊥平面BCC₁B₁；
（2）若AA₁=AC=2AB=2，求三棱錐D-BCB₁的體積．

Answer 1

分析 （1）證明：B₁B⊥DE，DE⊥BC，即可證明DE⊥平面BCC₁B₁；
（2）利用等體積法，求三棱錐D-BCB₁的體積．

解答 （1）證明：∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴B₁B⊥平面ABC，
又DE?平面ABC，
∴B₁B⊥DE，…（2分）
∵∠CDE=∠ABC，∠DCE=∠BCA
∴△EDC∽△ABC，
∴∠DEC=∠BAC=$\frac{π}{2}$
即DE⊥BC…（4分）
又B₁B∩BC=B
∴DE⊥平面BCC₁B₁；…（6分）
（2）S_△BCD=S_△ABC-S_△ABD=$\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$…（9分）
∵B₁B⊥平面ABC，
∴B₁B為三棱錐B₁-BCD的高…（10分）
∴由等體積可得三棱錐D-BCB₁的體積=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2$=$\frac{1}{3}$…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定，考查三棱錐體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確利用線面垂直的判定是關(guān)鍵．