Question

某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的產(chǎn)量x（噸）與每噸產(chǎn)品的價(jià)格P（元/噸）之間的關(guān)系為P=24200-

1

5

x2，且生產(chǎn)x噸的成本為R=50000+200x元．問該廠每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤(rùn)達(dá)到最大？最大利潤(rùn)是多少？（利潤(rùn)=收入-成本）

Answer 1

分析：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)最值問題，利用導(dǎo)數(shù)求最值

解答：解：設(shè)生產(chǎn)x噸產(chǎn)品，利潤(rùn)為y元，
則y=px-R=(24200-

1

5

x2)x-（50000+200x）
=-

1

5

x3+24000x-50000（x＞0）
y′=-

3

5

x2+24000，
由y'=0，得x=200
∵0＜x＜200時(shí)y'＞0，當(dāng)x≥200時(shí)y'＜0
∴當(dāng)x=200時(shí)，y_max=3150000（元）
答：該廠每月生產(chǎn)200噸產(chǎn)品才能使利潤(rùn)達(dá)到最大，最大利潤(rùn)是3150000（元）

點(diǎn)評(píng)：本題考查建立數(shù)學(xué)模型，三次函數(shù)的最值用導(dǎo)數(shù)來求．