Question

如圖，已知平面A₁B₁C₁平行于三棱錐V-ABC的底面ABC，等邊△ AB₁C所在的平面與底面ABC垂直，且∠ACB=90°，設(shè)AC=2a,BC=a.

（1）求證直線B₁C₁是異面直線AB₁與A₁C₁的公垂線；

（2）求點(diǎn)A到平面VBC的距離；

（3）求二面角A-VB-C的大小.

Answer 1

解：取AC中點(diǎn)O連B₁O，易知OB₁⊥底面ABC，過O作直線OE∥BC交AB于E.

取O為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，OE，OC，OB₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A（0，-a,0),B(a,a,0),C(0,a,0),B₁(0,0,).

(1)∵=(-a,0,0),=(0,a,),

∴·=（-a,0,0)·（0，a,)=0.∴⊥.

又∵B₁C₁∥BC,B₁C₁⊥AB₁,

且由已知BC⊥AC，AC∥A₁C₁，∴BC⊥A₁C₁.

而BC∥B₁C₁，∴B₁C₁⊥A₁C₁.

又B₁C₁與AB₁，A₁C₁顯然相交，∴B₁C₁是AB₁與A₁C₁的公垂線.

（2）設(shè)平面VBC的一個(gè)法向量n=（x,y,z)，又=(0,-a,),

由得取z=1,得n=(0,,1).

點(diǎn)A到平面VBC的距離，即在平面VBC的法向量n上的投影的絕對值.

∴=（0，a，）.設(shè)所求距離為d.

則d=|||·cos〈·n〉|=|||·.

所以，A到平面VBC的距離為.

（3）設(shè)平面VAB的一個(gè)法向量m=(x₁,y₁,z₁),

由得∴

取z₁=1,m=(,1),∴cos〈m,n〉=.

又∵二面角A-VB-C為銳角，∴二面角A-VB-C的大小為π-arccos.