Question

5．某人玩擲骰子（骰子是一個質(zhì)地均勻的正方體，它的各面上分別標(biāo)有點數(shù)字1、2、3、4、5、6）的游戲，每輪擲兩次．第n輪擲出的點數(shù)依次為x_n，y_n．如果$\frac{2}{x_n}+\frac{2}{y_n}＜1（n=1，2，…）$，則認(rèn)為第n輪游戲過關(guān)，游戲過關(guān)后，則游戲終止．如果某輪游戲不過關(guān)，則下一輪繼續(xù)進行，直至過關(guān)后終止．
（Ⅰ）求游戲第一輪過關(guān)的概率；
（Ⅱ）如果游戲進行到第3輪，第3輪后不管游戲是否過關(guān)，都終止游戲．寫出投擲輪數(shù)X的分布列，并求X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）x₁＞2，y₁＞2，由題意${x}_{1}＞\frac{2{y}_{1}}{{y}_{1}-2}$，由此進行分類討論經(jīng)，能求出游戲第一輪過關(guān)的概率．
（Ⅱ）設(shè)游戲第k輪后終止的概率為p_k（k=1，2，3），分別求出相應(yīng)的概率，由能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由題意得：x₁＞2，y₁＞2，則由$\frac{2}{x_1}+\frac{2}{y_1}＜1⇒\frac{2}{x_1}＜1-\frac{2}{y_1}=\frac{{{y_1}-2}}{y_1}⇒{x_1}＞\frac{{2{y_1}}}{{{y_1}-2}}$．…（1分）
當(dāng)y₁=3時，x₁＞6，這樣的x₁不存在；
當(dāng)y₁=4時，x₁＞4⇒x₁=5、6；
當(dāng)y₁=5時，${x_1}＞\frac{10}{3}⇒{x_1}=4、5、6$；
當(dāng)y₁=6時，x₁＞3⇒x₁=4、5、6．
總之，這樣的數(shù)組（x₁，y₁）的個數(shù)有8組．
因此，游戲第一輪過關(guān)的概率為$\frac{8}{6×6}=\frac{2}{9}$．
（Ⅱ）設(shè)游戲第k輪后終止的概率為p_k（k=1，2，3），
則${p_1}=\frac{2}{9}，{p_2}=（{1-\frac{2}{9}}）•\frac{2}{9}=\frac{14}{\;}，{p_3}=1-{p_1}-{p_2}=\frac{49}{81}$．…（10分）
故X的分布列為：

X	1	2	3
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{14}{81}$	$\frac{49}{81}$

因此$EX=1×\frac{2}{9}+2×\frac{14}{81}+3×\frac{49}{81}=\frac{193}{81}$．…（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，歷年高考中都是必考題型之一．