Question

已知是A、B、C直線l上的三點(diǎn)，向量

OA

，

OB

，

OC

滿(mǎn)足：

OA

-[f（x）+

1

x

]•

OB

-（x-1）•

OC

=

.

0

，且對(duì)任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：綜合題,平面向量及應(yīng)用

分析：利用三點(diǎn)共線的等價(jià)條件，建立條件關(guān)系，求出函數(shù)y=f（x）的解析式，再分類(lèi)討論，化為具體不等式，即可確定實(shí)數(shù)m的取值范圍

解答： 解：∵A、B、C是直線l上不同的三點(diǎn)，向量

OA

，

OB

，

OC

滿(mǎn)足：

OA

-[f（x）+

1

x

]•

OB

-（x-1）•

OC

=

.

0

，
∴f（x）+

1

x

+（1-x）=1，
∴f（x）=x-

1

x

，
∴f′（x）=1+

1

x2

，
∴f（x）為增函數(shù)，且m≠0，
若m＞0，則f（mx）、mf（x）均為增函數(shù)，此時(shí)不符合題意；
若m＜0，則mx-

1

mx

+mx-

m

x

＜0，∴1+

1

m2

＜2x²，
∵y=2x²在[1，+∞）上的最小值為2，∴1+

1

m2

＜2，
∴m＜-1．
故答案為：m＜-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式恒成立的應(yīng)用，考查向量知識(shí)，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，利用三點(diǎn)共線的等價(jià)條件，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．