Question

已知函數f（x）=

ex

ax2+x+1

，其中a∈R
（Ⅰ）若a=0，求函數f（x）的定義域和極值；
（Ⅱ）當a=1時，試確定函數g（x）=f（x）-1的零點個數，并證明．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,函數的定義域及其求法

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）由分母不為0，求出函數的定義域，利用導數的正負性，求出函數的單調區(qū)間，從而求出極值；
（Ⅱ）利用導數求出函數的單調區(qū)間，知函數是先增后減再增的，又極大值為0，極小值小于0，從而判斷函數有兩面?zhèn)�零點．

解答： （Ⅰ）解：當a=0時，函數f（x）=

ex

x+1

的定義域為（-∞，-1）∪（-1，+∞），
f′（x）=

ex(x+1)-ex

(x+1)2

=

xex

(x+1)2

，
令f′（x）=0，得x=0，
當x變化時，f（x）和f′（x）的變化情況如下：

x	（-∞，-1）	（-1，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	-	0	+
f（x）	↘	↘	1	↗

故f（x）的單調減區(qū)間為（-∞，-1），（-1，0）；單調增區(qū)間為（0，+∞）．
所以當x=0時，函數f（x）有極小值f（0）=1．

（Ⅱ）解：結論：函數g（x）存在兩個零點．
證明過程如下：
由題意，函數g（x）=

ex

x2+x+1

-1，
∵x2+x+1=(x+

1

2

)2+

3

4

＞0，
所以函數g（x）的定義域為R．
求導，得g′（x）=

ex(x2+x+1)-ex(2x+1)

(x2+x+1)2

=

exx(x-1)

(x2+x+1)2

，
令g′（x）=0，得x₁=0，x₂=1，
當x變化時，g（x）和g′（x）的變化情況如下：

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
g2（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗		↘		↗

故函數g（x）的單調減區(qū)間為（0，1）；單調增區(qū)間為（-∞，0），（1，+∞）．
當x=0時，函數g（x）有極大值g（0）=0；當x=1時，函數g（x）有極小值g（1）=

e

3

-1．
∵函數g（x）在（-∞，0）單調遞增，且g（0）=0，
∴對于任意x∈（-∞，0），g（x）≠0．
∵函數g（x）在（0，1）單調遞減，且g（0）=0，
∴對于任意x∈（0，1），g（x）≠0．
∵函數g（x）在（1，+∞）上單調遞增，且g（1）=

e

3

-1＜0，g（2）=

e2

7

-1＞0，
∴函數g（x）在（1，+∞）上僅存在一個x₀，使得函數g（x₀）=0，
故函數g（x）存在兩個零點（即0和x₀）．

點評：本題考查了函數的定義域，求極值，利用函數的單調性和極值判斷函數零點的個數問題．屬于中檔題．