Question

已知函數(shù)f（x）=

ex

ax2+x+1

，其中a∈R
（Ⅰ）若a=0，求函數(shù)f（x）的定義域和極值；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，試確定函數(shù)g（x）=f（x）-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)的定義域及其求法

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由分母不為0，求出函數(shù)的定義域，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出極值；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，知函數(shù)是先增后減再增的，又極大值為0，極小值小于0，從而判斷函數(shù)有兩面?zhèn)�零點(diǎn)．

解答： （Ⅰ）解：當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）=

ex

x+1

的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（-1，+∞），
f′（x）=

ex(x+1)-ex

(x+1)2

=

xex

(x+1)2

，
令f′（x）=0，得x=0，
當(dāng)x變化時(shí)，f（x）和f′（x）的變化情況如下：

x	（-∞，-1）	（-1，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	-	0	+
f（x）	↘	↘	1	↗

故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-1），（-1，0）；單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）．
所以當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）有極小值f（0）=1．

（Ⅱ）解：結(jié)論：函數(shù)g（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)．
證明過程如下：
由題意，函數(shù)g（x）=

ex

x2+x+1

-1，
∵x2+x+1=(x+

1

2

)2+

3

4

＞0，
所以函數(shù)g（x）的定義域?yàn)镽．
求導(dǎo)，得g′（x）=

ex(x2+x+1)-ex(2x+1)

(x2+x+1)2

=

exx(x-1)

(x2+x+1)2

，
令g′（x）=0，得x₁=0，x₂=1，
當(dāng)x變化時(shí)，g（x）和g′（x）的變化情況如下：

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
g2（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗		↘		↗

故函數(shù)g（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1）；單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0），（1，+∞）．
當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)g（x）有極大值g（0）=0；當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g（x）有極小值g（1）=

e

3

-1．
∵函數(shù)g（x）在（-∞，0）單調(diào)遞增，且g（0）=0，
∴對(duì)于任意x∈（-∞，0），g（x）≠0．
∵函數(shù)g（x）在（0，1）單調(diào)遞減，且g（0）=0，
∴對(duì)于任意x∈（0，1），g（x）≠0．
∵函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，且g（1）=

e

3

-1＜0，g（2）=

e2

7

-1＞0，
∴函數(shù)g（x）在（1，+∞）上僅存在一個(gè)x₀，使得函數(shù)g（x₀）=0，
故函數(shù)g（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)（即0和x₀）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的定義域，求極值，利用函數(shù)的單調(diào)性和極值判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題．屬于中檔題．