(05年湖北卷)(12分)
設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn),點(diǎn)N(1,3)是線段AB的中點(diǎn),線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn).
(Ⅰ)確定的取值范圍,并求直線AB的方程;
(Ⅱ)試判斷是否存在這樣的,使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上?并說明理由.
(此題不要求在答題卡上畫圖)
解析:(Ⅰ)解法1:依題意,可設(shè)直線AB的方程為,整理得 ①
設(shè)是方程①的兩個(gè)不同的根,
∴ ②
且由N(1,3)是線段AB的中點(diǎn),得
解得k=-1,代入②得,的取值范圍是(12,+∞).
于是,直線AB的方程為
解法2:設(shè)則有
依題意,
∵N(1,3)是AB的中點(diǎn), ∴
又由N(1,3)在橢圓內(nèi),∴
∴的取值范圍是(12,+∞).
直線AB的方程為y-3=-(x-1),即x+y-4=0.
(Ⅱ)解法1:∵CD垂直平分AB,∴直線CD的方程為y-3=x-1,即x-y+2=0,
代入橢圓方程,整理得
又設(shè)CD的中點(diǎn)為是方程③的兩根,
∴
于是由弦長公式可得 ④
將直線AB的方程x+y-4=0,代入橢圓方程得 ⑤
同理可得 ⑥
∵當(dāng)時(shí),
假設(shè)存在>12,使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓,則CD必為圓的直徑,點(diǎn)M為圓心.
點(diǎn)M到直線AB的距離為 ⑦
于是,由④、⑥、⑦式和勾股定理可得
故當(dāng)>12時(shí),A、B、C、D四點(diǎn)勻在以M為圓心,為半徑的圓上.
(注:上述解法中最后一步可按如下解法獲得:)
A、B、C、D共圓△ACD為直角三角形,A為直角|AN|2=|CN|?|DN|,
即 ⑧
由⑥式知,⑧式左邊
由④和⑦知,⑧式右邊
∴⑧式成立,即A、B、C、D四點(diǎn)共圓.
解法2:由(Ⅱ)解法1及λ>12,
∵CD垂直平分AB, ∴直線CD方程為,代入橢圓方程,整理得
③
將直線AB的方程x+y-4=0,代入橢圓方程,整理得
⑤
解③和⑤式可得
不妨設(shè)
∴
計(jì)算可得,∴A在以CD為直徑的圓上.
又B為A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn),∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓.
(注:也可用勾股定理證明AC⊥AD)
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(1)求甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)中恰有一人通過復(fù)檢的概率;
(2)設(shè)通過最后三關(guān)后,能被錄取的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的期望.
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(09年江蘇百校樣本分析)(10分)(矩陣與變換) 給定矩陣 A=, =.
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(2)求.查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(08年莆田四中一模理) (14分)
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(1)若函數(shù)確定數(shù)列的反數(shù)列為,求的通項(xiàng)公式;
(2)對(duì)(1)中,不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的范圍;
(3)設(shè),若數(shù)列的反數(shù)列為,與的公共項(xiàng)組成的數(shù)列為;求數(shù)列前項(xiàng)和
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(05年遼寧卷)(12分)
已知函數(shù).設(shè)數(shù)列滿足,,數(shù)列滿足
,…,
(Ⅰ)用數(shù)學(xué)歸納法證明;(Ⅱ)證明 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(05年湖北卷文)(12分)
設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn=2n2,為等比數(shù)列,且
(Ⅰ)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.
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