Question

2．已知兩個單位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$|（λ＞0），求當$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$最小時$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角．（參考：1+λ²≥2λ，當且僅當λ=1時等號成立．）

Answer 1

分析 把已知等式兩邊平方得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\frac{1}{4}（λ+\frac{1}{λ}）$，利用不等式求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的最小值，代入數(shù)量積求夾角公式得答案．

解答 解：由|λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$|（λ＞0），得
$（λ\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}=3（\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow）^{2}$，
即${λ}^{2}|\overrightarrow{a}{|}^{2}+2λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow+|\overrightarrow{|}^{2}$=$3|\overrightarrow{a}{|}^{2}-6λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow+3{λ}^{2}|\overrightarrow{|}^{2}$．
∵$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|=1$，
∴${λ}^{2}+2λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow+1=3-6λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow+3{λ}^{2}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\frac{1}{4}（λ+\frac{1}{λ}）$$≥\frac{1}{4}•2\sqrt{λ•\frac{1}{λ}}=\frac{1}{2}$．
當且僅當λ=1時上式等號成立．
∴cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{1}{2}$．
則當$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$最小時$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了數(shù)量積運算的坐標表示，訓練了利用基本不等式求最值，是中檔題．