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（2009•嘉定區(qū)一模）（理）已知復數z=a+bi，其中a、b為實數，i為虛數單位，
.
z
為z的共軛復數，且存在非零實數t，使
.
z
=
2+4i
t
-3ati成立．
（1）求2a+b的值；
（2）若|z-2|≤5，求實數a的取值范圍．
分析：（1）由題意可得，a-bi=
2+4i
t
-3ati，所以
a=
2
t
b=3at-
4
t
，由此能求出2a+b的值．
（2）由|z-2|≤5得
(a-2)2+b2
≤5，由b=6-2a，得（a-2）2+（6-2a）2≤25，由此能求出a的取值范圍．
解答：解：（1）由題意可得，a-bi=
2+4i
t
-3ati，
所以
a=
2
t
b=3at-
4
t
，…（3分）
由①得，t=
2
a
，
代入②得b=3a•
2
a
-2a，
所以2a+b=6．…（6分）
（2）由|z-2|≤5，
得|（a-2）+bi|≤5，
即
(a-2)2+b2
≤5，…（8分）
由（1）得b=6-2a，
所以（a-2）2+（6-2a）2≤25，
化簡得5a2-28a+15≤0，…（10分）
所以a的取值范圍是[
3
5
 ， 5]．…（12分）
點評：本題考查復數的代數表示法及其幾何意義，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．
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1
2
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1
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1
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3
4
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-
24
25
-
24
25
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x
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x
+1（x≥0）
．

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