Question

【題目】已知函數（a＞0，a≠1，m≠﹣1），是定義在（﹣1，1）上的奇函數．

（I）求f（0）的值和實數m的值；

（II）當m=1時，判斷函數f（x）在（﹣1，1）上的單調性，并給出證明；

（III）若且f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1（2）見解析（3）

【解析】試題分析：（I）由奇函數的定義可得f（﹣x）+f（x）= loga=0，進一步整理得1﹣m2x2=1﹣x2恒成立，比較系數可得m=1或m=﹣1（舍去）；（II）根據函數單調性的定義證明即可；（III）由，得0＜a＜1，根據條件構造不等式f（b﹣2）＞f（2﹣2b），然后利用函數的單調性得到關于b的不等式求解即可。

試題解析：（I）∵f（0）=loga1=0．

∵函數f（x）是奇函數，

∴ f（﹣x）=﹣f（x）

∴f（﹣x）+f（x）=0

∴l(xiāng)oga+loga=0；

∴l(xiāng)oga=0

∴=1，

整理得1﹣m2x2=1﹣x2對定義域內的x都成立．

∴m2=1．

所以m=1或m=﹣1（舍去）

∴m=1．

（II）由（I）可得f（x）=loga；

令

設﹣1＜x1＜x2＜1，則

∵﹣1＜x1＜x2＜1∴x2﹣x1＞0，（x1+1）（x2+1）＞0

∴t1＞t2．

① 當a＞1時，logat1＞logat2，即f（x1）＞f（x2）．

∴當a＞1時，f（x）在（﹣1，1）上是減函數．

②當0＜a＜1時，logat1＜logat2，即f（x1）＜f（x2）．

∴當0＜a＜1時，f（x）在（﹣1，1）上是增函數．

（III）∵，

∴0＜a＜1，

由f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0，得f（b﹣2）＞﹣f（2b﹣2），

∵函數f（x）是奇函數，

∴f（b﹣2）＞f（2﹣2b），

故由（II）得f（x）在（﹣1，1）上是增函數，

∴

解得

∴實數b的取值范圍是。