Question

一個(gè)三角形數(shù)表按如下方式構(gòu)成（如圖：其中項(xiàng)數(shù)n≥5）：第一行是以4為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，從第二行起，每一個(gè)數(shù)是其肩上兩個(gè)數(shù)的和，例如：f（2，1）=f（1，1）+f（1，2）；f（i，j）為數(shù)表中第i行的第j個(gè)數(shù)．
（1）求第2行和第3行的通項(xiàng)公式f（2，j）和f（3，j）；
（2）證明：數(shù)表中除最后2行外每一行的數(shù)都依次成等差數(shù)列，并求f（i，1）關(guān)于i（i=1，2，…，n）的表達(dá)式；
（3）若f（i，1）=（i+1）（a_i-1），b_i=

1

aiai+1

，試求一個(gè)等比數(shù)列g(shù)（i）（i=1，2，…，n），使得S_n=b₁g（1）+b₂2g（2）+…+b_ng（n）＜

1

3

，且對(duì)于任意的m∈（

1

4

，

1

3

）均存在實(shí)數(shù)λ，當(dāng)n＞λ時(shí)，都有S_n＞m．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,數(shù)列的應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義即可求出相應(yīng)的通項(xiàng)公式，
（2）根據(jù)條件建立方程關(guān)系即可求出f（i，1）的表達(dá)式．
（3）根據(jù)條件尋找等比數(shù)列g(shù)（i），即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）f（2，j）=f（1，j）+f（1，j+1）=2f（1，j）+4=8j+4（j=1，2，…，n-1）
f（3，j）=f（2，j）+f（2，j+1）=2f（2，j）+8=2（8j+4）+8=16j+16（j=1，2，…，n-2）．
（2）由已知，第一行是等差數(shù)列，假設(shè)第i（1≤i≤n-3）行是以d_i為公差的等差數(shù)列，
則由f（i+1，j+1）-f（i+1，j）=[f（i，j+1）+f（i，j+2）]-[f（i，j）+f（i，j+1）]=f（i，j+2）-f（i，j）=2d_i（常數(shù)）知第i+1（1≤i≤n-3）行的數(shù)也依次成等差數(shù)列，且其公差為2d_i．綜上可得，數(shù)表中除最后2行以外每一行都成等差數(shù)列；
由于d₁=4，d_i=2d_i-1（i≥2），
∴di=4•2i-1=2i+1，
即f（i，1）=f（i-1，1）+f（i-1，2）=2f（i-1，1）+d_i-1，由di-1=2i，
得f（i，1）=2f（i-1，1）+2ⁱ，
于是

f(i，1)

2i

=

f(i-1，1)

2i-1

+1，
即

f(i，1)

2i

-

f(i-1，1)

2i-1

=1，
又∵

f(1，1)

21

=

4

2

=2，
∴數(shù)列{

f(i，1)

2i

}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴

f(i，1)

2i

=2+(i-1)=i+1，∴f（i，1）=（i+1）•2ⁱ（i=1，2，…，n）．  
（3）f（i，1）=（i+1）（a_i-1）⇒ai=

f(i，1)

i+1

+1=2i+1，⇒bi=

1

aiai+1

=

1

(2i+1+1)(2i+1)

=

1

2i

(

1

2i+1

-

1

2i+1+1

)，
令g（i）=2ⁱ⇒big(i)=

1

2i

(

1

2i+1

-

1

2i+1+1

)×2i=

1

2i+1

-

1

2i+1+1

，
⇒Sn=(

1

2+1

-

1

22+1

)+(

1

22+1

-

1

23+1

)+…+(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)=

1

3

-

1

2n+1+1

＜

1

3

．
S_n＞m?

1

3

-

1

2n+1+1

＞m?

1

2n+1+1

＜

1

3

-m=

1-3m

3

，m∈(

1

4

，

1

3

)⇒0＜1-3m＜

1

4

，⇒2n+1+1＞

3

1-3m

⇒n＞log2(

3

1-3m

-1)-1，
令λ=log2(

3

1-3m

-1)，
則當(dāng)n＞λ時(shí)，都有S_n＞m，∴適合題設(shè)的一個(gè)等比數(shù)列為g（i）=2ⁱ．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．