Question

如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，且，AD=CD=1．
（1）求證：BD⊥AA₁；
（2）若E為棱BC的中點(diǎn)，求證：AE∥平面DCC₁D₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用垂直平分線的判定定理即可得到BD垂直平分AC，利用面面垂直的性質(zhì)定理即可得到BD⊥平面AA₁C₁C，利用線面垂直的性質(zhì)定理即可證明結(jié)論；
（2）利用△OCD的邊角關(guān)系即可得到∠OCD=30°，從而得到∠BCD=90°，DC⊥BC，利用等邊三角形的性質(zhì)即可得到AE⊥BC，得到AE∥DC，
再利用線面平行的判定定理即可證明結(jié)論．
解答：證明：（1）∵AB=BC，AD=CD，∴BD垂直平分AC，
∵平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，
∴BD⊥平面AA₁C₁C，
∴BD⊥AA₁；
（2）是BD∩AC=O，則OC=，
又DC=1，∴=，∴∠OCD=30°．
∵∠ACB=60°，∴∠BCD=90°．
∴DC⊥BC．
∵E為等邊三角形的邊BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC，∴DC∥AE．
∵AE?平面DCC₁D₁．DC?平面DCC₁D₁．
∴AE∥平面DCC₁D₁．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握垂直平分線的判定定理、面面垂直的性質(zhì)定理、線面垂直的性質(zhì)定理、直角△OCD的邊角關(guān)系、等邊三角形的性質(zhì)、線面平行的判定定理是解題的關(guān)鍵．