Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=

3

，AA₁=1，∠ACB=90°
（Ⅰ）求異面直線A₁B與CB₁所成角的大��；
（Ⅱ）問：在A₁B₁邊上是否存在一點Q，使得平面QBC與平面A₁BC所成的角為30°，若存在，請求點Q的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：在含有直線與平面垂直垂直的條件的棱柱、棱錐、棱臺中，可以建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)定參量求解．比如此題中，我們可以以C為坐標(biāo)原點，分別以CA、CB、CC₁為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz．這種解法的好處就是：（1）解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關(guān)定理，因為這些可以用向量方法來解決．（2）即使立體感稍差一些的學(xué)生也可以順利解出，因為只需畫個草圖以建立坐標(biāo)系和觀察有關(guān)點的位置即可．A₁（

3

，0，1），B₁（0，

3

，0），C（0，0，0），，B（0，

3

，1）
（Ⅰ）

A1B

=（-

3

，

3

，-1），|

A1B

=

7

|，

CB1

=（0，

3

，1），

CB1

=2
（Ⅱ）假設(shè)在A₁B₁邊上是否存在一點Q，使得平面QBC與平面A₁BC所成的角為30°，反推計算可得．

解答：解：建立如示空間直角坐標(biāo)系，則
A₁（

3

，0，1），B₁（0，

3

，0），C（0，0，0），，B（0，

3

，1），

A1B

=（-

3

，

3

，-1），|

A1B

=

7

|

CB1

=（0，

3

，1），

CB1

=2，
cos＜

A1B

•

CB1

＞=

A1B • CB1

| A1B ||  CB1 |

=

2

2 7

=

7

7

異面直線A₁B與CB₁所成的角為arccos

7

7

（6分）
（Ⅱ）答：存在這樣的點Q，使得面QBC與面A₁BC成30°角
解：∵是直三棱柱，又∠ACB=90°，∴BC⊥CA₁，BC⊥CC₁
∴∠A₁CC₁是二面角A₁-BC-C₁所成的平面角
在Rt△A₁C₁C中，∠A₁CC₁=60°（8分）
在A₁B₁邊上取一點Q，在平面A₁B₁C₁中作QP∥B₁C₁，交A₁C₁于P，連PC
過證PQBC共面
∴∠A₁CP就是Q-BC-A₁的平面角為30°（10分）
∵30°＜60°，故有在點P，在角A₁CC₁的平分線上
在Rt△PC₁C中，可PC₁=

3

3

又A₁B₁=

6

，由相似比可得，Q在距點A

2 6

3

處（或距B₁點

6

3

處）（12分）

點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、面面關(guān)系、二面角的度量、異面直線所成的角等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力