Question

設(shè)n∈N^*，n＞1，用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

n

．

Answer 1

分析：直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟證明不等式，（1）驗(yàn)證n=2時(shí)不等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)成立，利用放縮法證明n=k+1時(shí)，不等式也成立．

解答：證明：記f（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．（n∈N^*，n＞1）…（2分）
（1）當(dāng)n=2時(shí)，f（2）=1+

1

2

＞

2

，不等式成立；             …（4分）
（2）假設(shè)n=k（n∈N^*，n≥2）時(shí)，不等式成立，…（6分）
即f（k）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

＞

k

，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，有f（k+1）=f（k）+

1

k+1

＞

k

+

1

k+1

=

k(k+1) +1

k+1

＞

k+1

k+1

=

k+1

   …（10分）
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．…（12分）
綜合（1），（2）知，原不等式對(duì)任意的n∈N^*，（n＞1）都成立．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，注意不等式的證明方法，放縮法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力．